Номер 44.11, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.11. Докажите, что функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $R$.

Для того чтобы доказать, что функция является выпуклой вниз на всей числовой прямой $R$, необходимо и достаточно показать, что ее вторая производная неотрицательна ($f''(x) \ge 0$) для всех $x \in R$.

Заданная функция: $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$.

Найдем первую производную функции $f(x)$:$f'(x) = (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7)' = 4x^3 - 12x^2 + 24x - 11$.

Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$, продифференцировав первую производную $f'(x)$:$f''(x) = (4x^3 - 12x^2 + 24x - 11)' = 12x^2 - 24x + 24$.

Далее необходимо исследовать знак второй производной $f''(x)$ на всей области определения.$f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$.

Вынесем общий множитель 12 за скобки:$f''(x) = 12(x^2 - 2x + 2)$.

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 2$. Его знак можно определить несколькими способами.

Способ 1: Анализ дискриминанта.Графиком функции $y = x^2 - 2x + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 2x + 2 = 0$:$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), парабола не пересекает ось абсцисс. Так как ветви параболы направлены вверх, это означает, что квадратный трехчлен принимает только положительные значения при всех $x \in R$.

Способ 2: Выделение полного квадрата.$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$. Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, $(x-1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Это показывает, что минимальное значение выражения $x^2 - 2x + 2$ равно 1, и оно всегда положительно.

Поскольку $x^2 - 2x + 2 > 0$ для всех $x \in R$, то и вторая производная $f''(x) = 12(x^2 - 2x + 2)$ будет всегда положительной, так как является произведением положительного числа 12 на положительное выражение. Более того, $f''(x) = 12((x - 1)^2 + 1) \ge 12 \cdot 1 = 12$.

Таким образом, мы доказали, что $f''(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это удовлетворяет условию выпуклости вниз ($f''(x) \ge 0$).

Ответ: Поскольку вторая производная функции $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24$ положительна при всех действительных значениях $x$, функция $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 11x - 7$ является выпуклой вниз на $R$.