Номер 44.7, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.7. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = x^3 - 3x + 2;$

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1.$

1) $y = x^3 - 3x + 2$

Для нахождения промежутков выпуклости/вогнутости и точек перегиба функции необходимо найти ее вторую производную. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$

2. Находим вторую производную:

$y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$

3. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Эти точки являются возможными точками перегиба.

$y'' = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0$

4. Определяем знаки второй производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает область определения, то есть на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, имеем $y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0$. Следовательно, на этом промежутке график функции выпуклый вверх.
• На интервале $(0; +\infty)$, например, при $x = 1$, имеем $y''(1) = 6(1) = 6 > 0$. Следовательно, на этом промежутке график функции вогнутый (выпуклый вниз).

5. Поскольку при переходе через точку $x = 0$ вторая производная меняет знак, то $x = 0$ является абсциссой точки перегиба. Найдем ординату этой точки, подставив значение $x=0$ в исходную функцию:

$y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$

Таким образом, точка перегиба имеет координаты $(0; 2)$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; 0)$, вогнута на промежутке $(0; +\infty)$; точка перегиба — $(0; 2)$.

2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1$

Действуем по тому же алгоритму. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - x + 1)' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 1$

2. Находим вторую производную:

$y'' = (4x^3 - 24x^2 + 36x - 1)' = 12x^2 - 48x + 36$

3. Находим возможные точки перегиба, решая уравнение $y'' = 0$:

$12x^2 - 48x + 36 = 0$

Разделим обе части на 12:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

4. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определяем знак второй производной на каждом из них. График $y'' = 12(x-1)(x-3)$ — парабола с ветвями, направленными вверх.

• На интервале $(-\infty; 1)$, например, при $x=0$, имеем $y''(0) = 12(0-1)(0-3) = 36 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).
• На интервале $(1; 3)$, например, при $x=2$, имеем $y''(2) = 12(2-1)(2-3) = -12 < 0$. График функции выпуклый вверх.
• На интервале $(3; +\infty)$, например, при $x=4$, имеем $y''(4) = 12(4-1)(4-3) = 36 > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).

5. Поскольку в точках $x = 1$ и $x = 3$ вторая производная меняет знак, обе точки являются точками перегиба. Найдем их ординаты:

$y(1) = 1^4 - 8 \cdot 1^3 + 18 \cdot 1^2 - 1 + 1 = 1 - 8 + 18 = 11$

$y(3) = 3^4 - 8 \cdot 3^3 + 18 \cdot 3^2 - 3 + 1 = 81 - 8 \cdot 27 + 18 \cdot 9 - 2 = 81 - 216 + 162 - 2 = 25$

Точки перегиба: $(1; 11)$ и $(3; 25)$.

Ответ: функция вогнута на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $(1; 3)$; точки перегиба — $(1; 11)$ и $(3; 25)$.