gdz.top
Номер 44.12, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 44. Вторая производная. Понятие выпуклости функции - номер 44.12, страница 345.
№44.11
№44.12 (с. 345)
Условие. №44.12 (с. 345)
44.12. Докажите, что функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на $R$.
Решение. №44.12 (с. 345)
Для доказательства того, что функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на $R$, необходимо найти ее вторую производную и определить ее знак. Функция является выпуклой вверх на некотором множестве, если ее вторая производная на этом множестве неположительна ($f''(x) \le 0$).
1. Найдем первую производную функции $f(x)$.
Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу синуса двойного угла, получаем:
$f'(x) = (\sin^2 x - 2x^2)' = (\sin^2 x)' - (2x^2)' = 2\sin x \cos x - 4x = \sin(2x) - 4x$.
2. Найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x)$:
$f''(x) = (\sin(2x) - 4x)' = (\sin(2x))' - (4x)' = \cos(2x) \cdot 2 - 4 = 2\cos(2x) - 4$.
3. Проанализируем знак второй производной $f''(x)$ на всей числовой прямой $R$.
Известно, что область значений функции косинус ограничена отрезком $[-1, 1]$, то есть для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \cos(2x) \le 1$
Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$
Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-2 - 4 \le 2\cos(2x) - 4 \le 2 - 4$
$-6 \le 2\cos(2x) - 4 \le -2$
Таким образом, мы получили, что $f''(x)$ принимает значения в отрезке $[-6, -2]$. Это означает, что для любого $x \in R$ вторая производная $f''(x)$ является отрицательной, так как ее максимальное значение равно -2.
$f''(x) \le -2 < 0$
Поскольку вторая производная функции отрицательна для всех $x \in R$, функция $f(x) = \sin^2 x - 2x^2$ является выпуклой вверх на всей числовой прямой $R$, что и требовалось доказать.
Ответ: Так как вторая производная функции $f''(x) = 2\cos(2x) - 4$ является отрицательной ($f''(x) \le -2$) для всех $x \in R$, то функция $f(x)$ является выпуклой вверх на $R$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 44.12 расположенного на странице 345 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №44.12 (с. 345), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.