Номер 44.13, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.13. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y = \frac{x}{1+x^2}$;

2) $y = \frac{x}{(x-1)^2}$.

1) $y = \frac{x}{1+x^2}$

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции, необходимо исследовать знак ее второй производной.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель $1+x^2$ никогда не равен нулю, поэтому функция определена для всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдём первую производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}.$

3. Найдём вторую производную функции:

$y'' = \left(\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\right)' = \frac{(1-x^2)'(1+x^2)^2 - (1-x^2)((1+x^2)^2)'}{((1+x^2)^2)^2} = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4}.$

Вынесем общий множитель $-2x(1+x^2)$ в числителе:

$y'' = \frac{-2x(1+x^2)[(1+x^2) + 2(1-x^2)]}{(1+x^2)^4} = \frac{-2x(1+x^2+2-2x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}.$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю. Это потенциальные точки перегиба.

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3} = 0.$

Так как знаменатель всегда положителен, то $2x(x^2-3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x^2-3=0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

5. Определим знаки второй производной на интервалах, на которые эти точки разбивают область определения: $(-\infty, -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, +\infty)$. Знак $y''$ совпадает со знаком числителя $2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.

• При $x \in (-\infty, -\sqrt{3})$, $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (-\sqrt{3}, 0)$, $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).
• При $x \in (0, \sqrt{3})$, $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).

6. В точках $x = -\sqrt{3}$, $x=0$ и $x = \sqrt{3}$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсциссы точек перегиба. Найдём ординаты этих точек:

• $y(-\sqrt{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{1+(-\sqrt{3})^2} = \frac{-\sqrt{3}}{4}.$ Точка перегиба $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4}).$
• $y(0) = \frac{0}{1+0^2} = 0.$ Точка перегиба $(0, 0).$
• $y(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}}{4}.$ Точка перегиба $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4}).$

Ответ: функция выпукла вверх на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(0, \sqrt{3})$; выпукла вниз на промежутках $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, +\infty)$; точки перегиба: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$.

2) $y = \frac{x}{(x-1)^2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель $(x-1)^2$ равен нулю при $x=1$. Таким образом, область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Найдём первую производную:

$y' = \frac{(x)'(x-1)^2 - x((x-1)^2)'}{((x-1)^2)^2} = \frac{1 \cdot (x-1)^2 - x \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(x-1)( (x-1) - 2x )}{(x-1)^4} = \frac{-x-1}{(x-1)^3}.$

3. Найдём вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-x-1}{(x-1)^3}\right)' = \frac{(-x-1)'(x-1)^3 - (-x-1)((x-1)^3)'}{((x-1)^3)^2} = \frac{-1 \cdot (x-1)^3 - (-x-1) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}.$

Вынесем общий множитель $(x-1)^2$ в числителе:

$y'' = \frac{(x-1)^2 [-(x-1) + 3(x+1)]}{(x-1)^6} = \frac{-x+1+3x+3}{(x-1)^4} = \frac{2x+4}{(x-1)^4} = \frac{2(x+2)}{(x-1)^4}.$

4. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

$y'' = 0 \Rightarrow \frac{2(x+2)}{(x-1)^4} = 0 \Rightarrow 2(x+2)=0 \Rightarrow x = -2$.

Вторая производная не существует в точке $x=1$, которая не входит в область определения функции.

5. Определим знаки второй производной на интервалах, на которые точки $x=-2$ и $x=1$ разбивают область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знаменатель $(x-1)^4$ всегда положителен при $x \neq 1$, поэтому знак $y''$ определяется знаком числителя $2(x+2)$.

• При $x \in (-\infty, -2)$, $x+2<0$, следовательно $y'' < 0$, функция выпукла вверх (выпукла).
• При $x \in (-2, 1)$, $x+2>0$, следовательно $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).
• При $x \in (1, +\infty)$, $x+2>0$, следовательно $y'' > 0$, функция выпукла вниз (вогнута).

6. В точке $x = -2$ вторая производная меняет знак, следовательно, это абсцисса точки перегиба. Найдём ординату этой точки:

$y(-2) = \frac{-2}{(-2-1)^2} = \frac{-2}{(-3)^2} = -\frac{2}{9}.$

Точка перегиба: $(-2, -\frac{2}{9})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty, -2)$; выпукла вниз на промежутках $(-2, 1)$ и $(1, +\infty)$; точка перегиба: $(-2, -\frac{2}{9})$.