Номер 44.8, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.8. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

1) $y=x^3-2x^2+x-2;$

2) $y=x^4-6x^3+12x^2-3x+4.$

1) $y = x^3 - 2x^2 + x - 2$

Чтобы найти промежутки выпуклости и точки перегиба, необходимо исследовать знак второй производной функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Найдём первую и вторую производные функции:

$y' = (x^3 - 2x^2 + x - 2)' = 3x^2 - 4x + 1$

$y'' = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4$

2. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю. Эти точки являются потенциальными точками перегиба.

$y'' = 0 \implies 6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

3. Определим знак второй производной на интервалах, на которые точка $x = \frac{2}{3}$ делит числовую ось: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

• При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$), $y''(0) = 6(0) - 4 = -4 < 0$. Следовательно, на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$ функция выпукла вверх (вогнута).
• При $x > \frac{2}{3}$ (например, $x=1$), $y''(1) = 6(1) - 4 = 2 > 0$. Следовательно, на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$ функция выпукла вниз (выпукла).

4. Так как в точке $x = \frac{2}{3}$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. Найдём ординату этой точки:

$y(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{27} - 2 \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 2 = \frac{8}{27} - \frac{24}{27} + \frac{18}{27} - \frac{54}{27} = \frac{8 - 24 + 18 - 54}{27} = -\frac{52}{27}$.

Точка перегиба: $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.

Ответ: функция выпукла вверх на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$, выпукла вниз на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$, точка перегиба $(\frac{2}{3}; -\frac{52}{27})$.

2) $y = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4$

Аналогично, исследуем знак второй производной. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

1. Найдём первую и вторую производные:

$y' = (x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 3x + 4)' = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 3$

$y'' = (4x^3 - 18x^2 + 24x - 3)' = 12x^2 - 36x + 24$

2. Найдём точки, в которых вторая производная равна нулю:

$12x^2 - 36x + 24 = 0$

Разделим уравнение на 12:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (например, по теореме Виета) $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знак второй производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. График $y'' = 12x^2 - 36x + 24$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках 1 и 2.

• При $x \in (-\infty; 1)$ (например, $x=0$), $y''(0) = 24 > 0$. Функция выпукла вниз.
• При $x \in (1; 2)$ (например, $x=1.5$), $y''(1.5) = 12(1.5^2 - 3 \cdot 1.5 + 2) = 12(2.25 - 4.5 + 2) = 12(-0.25) = -3 < 0$. Функция выпукла вверх.
• При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$), $y''(3) = 12(3^2 - 3 \cdot 3 + 2) = 12(9 - 9 + 2) = 24 > 0$. Функция выпукла вниз.

4. В точках $x=1$ и $x=2$ знак второй производной меняется, следовательно, это точки перегиба. Найдём их ординаты:

$y(1) = 1^4 - 6(1)^3 + 12(1)^2 - 3(1) + 4 = 1 - 6 + 12 - 3 + 4 = 8$.

$y(2) = 2^4 - 6(2)^3 + 12(2)^2 - 3(2) + 4 = 16 - 6 \cdot 8 + 12 \cdot 4 - 6 + 4 = 16 - 48 + 48 - 6 + 4 = 14$.

Точки перегиба: $(1; 8)$ и $(2; 14)$.

Ответ: функция выпукла вниз на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[2; +\infty)$, выпукла вверх на промежутке $[1; 2]$, точки перегиба $(1; 8)$ и $(2; 14)$.