Номер 44.1, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.1. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^2 - 2x + 5$;

2) $y = \frac{1}{x}$;

3) $y = \sqrt{x}$;

4) $y = \cos x$;

5) $y = (2x - 1)^5$;

6) $y = \cos^2 x$;

7) $y = \sin \frac{x}{4}$;

8) $y = x \sin x$.

1) $y = x^2 - 2x + 5$

Сначала найдем первую производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и суммы функций.

$y' = (x^2 - 2x + 5)' = (x^2)' - (2x)' + (5)' = 2x - 2$.

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав первую производную.

$y'' = (2x - 2)' = (2x)' - (2)' = 2$.

Ответ: $2$

2) $y = \frac{1}{x}$

Представим функцию в виде $y = x^{-1}$ и найдем первую производную по правилу дифференцирования степенной функции.

$y' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (-x^{-2})' = -(-2) \cdot x^{-2-1} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

Ответ: $\frac{2}{x^3}$

3) $y = \sqrt{x}$

Представим функцию в виде $y = x^{1/2}$ и найдем первую производную.

$y' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\frac{1}{2}x^{-1/2})' = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

Ответ: $-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

4) $y = \cos x$

Находим первую производную, зная, что производная косинуса равна минус синусу.

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Теперь находим вторую производную.

$y'' = (-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.

Ответ: $-\cos x$

5) $y = (2x - 1)^5$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = ((2x - 1)^5)' = 5(2x - 1)^{5-1} \cdot (2x - 1)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (10(2x - 1)^4)' = 10 \cdot 4(2x - 1)^{4-1} \cdot (2x - 1)' = 40(2x - 1)^3 \cdot 2 = 80(2x - 1)^3$.

Ответ: $80(2x-1)^3$

6) $y = \cos^2 x$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция — степенная, внутренняя — косинус.

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, упростим выражение: $y' = -\sin(2x)$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -\cos(2x) \cdot 2 = -2\cos(2x)$.

Ответ: $-2\cos(2x)$

7) $y = \sin\frac{x}{4}$

Используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = (\sin\frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot (\frac{x}{4})' = \cos(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4})$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\frac{1}{4}\cos(\frac{x}{4}))' = \frac{1}{4} \cdot (-\sin(\frac{x}{4})) \cdot (\frac{x}{4})' = -\frac{1}{4}\sin(\frac{x}{4}) \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{16}\sin(\frac{x}{4})$.

Ответ: $-\frac{1}{16}\sin\frac{x}{4}$

8) $y = x \sin x$

Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = (x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$.

Теперь найдем вторую производную.

$y'' = (\sin x + x\cos x)' = (\sin x)' + (x\cos x)'$.

Используя правило дифференцирования суммы и произведения, получаем:

$y'' = \cos x + ((x)' \cos x + x (\cos x)') = \cos x + (1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x)) = \cos x + \cos x - x\sin x = 2\cos x - x\sin x$.

Ответ: $2\cos x - x\sin x$