Номер 43.27, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.27. Завод A расположен на расстоянии 50 км от прямолинейного участка железной дороги, которая ведёт в город B, и на расстоянии 130 км от города B. Под каким углом к железной дороге следует провести шоссе от завода A, чтобы доставка грузов из A в B была самой дешёвой, если стоимость перевозок по шоссе в 2 раза больше, чем по железной дороге?

Обозначим завод как точку A, город как точку B. Пусть H — это точка на железной дороге, ближайшая к заводу A. Тогда AH — это перпендикуляр, опущенный из A на железную дорогу, и его длина составляет $AH = 50$ км. Расстояние от завода до города B равно $AB = 130$ км.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, где $\angle AHB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем расстояние HB вдоль железной дороги от точки H до города B:

$HB^2 = AB^2 - AH^2 = 130^2 - 50^2 = 16900 - 2500 = 14400$

$HB = \sqrt{14400} = 120$ км.

Пусть шоссе от завода A соединяется с железной дорогой в точке P. Грузы будут доставляться по шоссе от A до P, а затем по железной дороге от P до B. Нам нужно найти такое положение точки P, чтобы общая стоимость перевозки была минимальной.

Обозначим расстояние $HP = x$. Тогда расстояние, которое нужно проехать по шоссе, AP, можно найти из прямоугольного треугольника AHP:

$AP = \sqrt{AH^2 + HP^2} = \sqrt{50^2 + x^2} = \sqrt{2500 + x^2}$

Расстояние, которое нужно проехать по железной дороге, будет $PB = HB - HP = 120 - x$. Точка P должна лежать между H и B, поэтому $0 \le x \le 120$.

Пусть $c$ — стоимость перевозки на 1 км по железной дороге. Тогда, по условию, стоимость перевозки на 1 км по шоссе равна $2c$.

Общая стоимость перевозки $S(x)$ как функция от $x$ будет равна:

$S(x) = (\text{длина шоссе}) \times (\text{стоимость по шоссе}) + (\text{длина ж/д}) \times (\text{стоимость по ж/д})$

$S(x) = 2c \cdot AP + c \cdot PB = 2c\sqrt{2500 + x^2} + c(120 - x)$

Чтобы найти минимальную стоимость, нужно найти минимум этой функции. Поскольку $c$ — положительная константа, мы можем минимизировать функцию $f(x) = 2\sqrt{2500 + x^2} + 120 - x$. Для этого найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$f'(x) = \left(2(2500 + x^2)^{1/2} + 120 - x\right)' = 2 \cdot \frac{1}{2}(2500 + x^2)^{-1/2} \cdot (2x) - 1 = \frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} - 1$

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} - 1 = 0$

$\frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} = 1$

$2x = \sqrt{2500 + x^2}$

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x \ge 0$):

$4x^2 = 2500 + x^2$

$3x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{3} \Rightarrow x = \frac{50}{\sqrt{3}}$ км.

Теперь нам нужно найти угол, под которым шоссе следует провести к железной дороге. Этот угол — это $\alpha = \angle APH$ в прямоугольном треугольнике AHP. Мы можем найти косинус этого угла:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HP}{AP} = \frac{x}{\sqrt{2500 + x^2}}$

Из уравнения, полученного при нахождении производной, мы знаем, что $\frac{2x}{\sqrt{2500 + x^2}} = 1$. Отсюда следует, что $\frac{x}{\sqrt{2500 + x^2}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $1/2$, составляет $60^\circ$.

Ответ: Шоссе следует провести под углом $60^\circ$ к железной дороге.