Номер 43.24, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.24. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямой $y = 2$ и осью ординат. В какой точке графика функции $y = \sqrt{x} (0 \le x \le 4)$ надо провести касательную, чтобы она отсекала от указанной фигуры треугольник наибольшей площади?

Фигура, о которой идет речь в задаче, ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, прямой $y=2$ и осью ординат ($x=0$). Требуется найти такую точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = \sqrt{x}$ в диапазоне $0 \le x \le 4$, что касательная, проведенная в этой точке, отсекает от указанной фигуры треугольник наибольшей площади.

Пусть $M(x_0, \sqrt{x_0})$ — искомая точка касания. Для нахождения уравнения касательной нам понадобится производная функции $y = \sqrt{x}$, которая равна $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент касательной в точке $M$ составляет $k = y'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Уравнение касательной в общем виде: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставив наши значения, получим:

$y - \sqrt{x_0} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}(x - x_0)$

Выразим $y$:

$y = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}x - \frac{x_0}{2\sqrt{x_0}} + \sqrt{x_0} \Rightarrow y = \frac{1}{2\sqrt{x_0}}x + \frac{\sqrt{x_0}}{2}$

Этот треугольник ограничен касательной, осью ординат ($x=0$) и прямой $y=2$. Найдем его вершины.

• Первая вершина — точка пересечения прямых $x=0$ и $y=2$: $A(0, 2)$.
• Вторая вершина — точка пересечения касательной с осью ординат. Подставим $x=0$ в уравнение касательной: $y = \frac{\sqrt{x_0}}{2}$. Получаем точку $B(0, \frac{\sqrt{x_0}}{2})$.
• Третья вершина — точка пересечения касательной с прямой $y=2$. Подставим $y=2$ в уравнение касательной: $2 = \frac{x}{2\sqrt{x_0}} + \frac{\sqrt{x_0}}{2}$. Отсюда находим $x = 2\sqrt{x_0}(2-\frac{\sqrt{x_0}}{2}) = 4\sqrt{x_0} - x_0$. Получаем точку $C(4\sqrt{x_0} - x_0, 2)$.

Полученный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $AC$ лежат на взаимно перпендикулярных прямых $x=0$ и $y=2$. Длины катетов равны:

$|AB| = 2 - \frac{\sqrt{x_0}}{2}$

$|AC| = 4\sqrt{x_0} - x_0$

Площадь треугольника $S$ как функция от $x_0$:

$S(x_0) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| = \frac{1}{2} \left(2 - \frac{\sqrt{x_0}}{2}\right) (4\sqrt{x_0} - x_0)$

Для упрощения и нахождения максимума этой функции введем замену $t = \sqrt{x_0}$. Поскольку $0 \le x_0 \le 4$, то переменная $t$ изменяется на отрезке $[0, 2]$. Функция площади принимает вид:

$S(t) = \frac{1}{2} \left(2 - \frac{t}{2}\right) (4t - t^2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4-t}{2} \cdot t(4-t) = \frac{1}{4}t(4-t)^2$

Раскроем скобки: $S(t) = \frac{1}{4}(16t - 8t^2 + t^3)$.

Найдем производную функции $S(t)$ по переменной $t$ для поиска экстремумов:

$S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4}(16t - 8t^2 + t^3)\right) = \frac{1}{4}(16 - 16t + 3t^2)$

Приравняем производную к нулю: $3t^2 - 16t + 16 = 0$. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64$. Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{16-8}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{16+8}{6} = \frac{24}{6} = 4$

Отрезку $[0, 2]$ принадлежит только корень $t_1 = 4/3$. Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке необходимо сравнить ее значения в этой критической точке и на концах отрезка ($t=0$ и $t=2$).

$S(0) = \frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (4-0)^2 = 0$

$S(2) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (4-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

$S(\frac{4}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \left(4 - \frac{4}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{12-4}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{27}$

Сравнивая полученные значения $S(2)=2=\frac{54}{27}$ и $S(\frac{4}{3})=\frac{64}{27}$, заключаем, что максимальная площадь достигается при $t = 4/3$.

Теперь найдем искомые координаты точки касания $(x_0, y_0)$, зная, что $t = \sqrt{x_0} = 4/3$:

$x_0 = t^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$

$y_0 = \sqrt{x_0} = t = \frac{4}{3}$

Следовательно, для получения треугольника наибольшей площади касательную нужно провести в точке $(\frac{16}{9}, \frac{4}{3})$.

Ответ: $(\frac{16}{9}; \frac{4}{3})$.