Номер 43.30, страница 339 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.30. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 4x^3 - x|x - 2|$ на промежутке $[0; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 4x^3 - x|x-2|$ на отрезке $[0; 3]$, необходимо сначала раскрыть модуль, а затем найти значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Раскрытие модуля
Выражение под знаком модуля, $x-2$, меняет свой знак в точке $x=2$. Поскольку эта точка принадлежит рассматриваемому отрезку $[0; 3]$, мы должны рассмотреть два случая:
а) При $x \in [0; 2)$, имеем $x-2 < 0$, и следовательно, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.
На этом промежутке функция принимает вид: $f(x) = 4x^3 - x(2-x) = 4x^3 - 2x + x^2 = 4x^3 + x^2 - 2x$.
б) При $x \in [2; 3]$, имеем $x-2 \ge 0$, и следовательно, $|x-2| = x-2$.
На этом промежутке функция принимает вид: $f(x) = 4x^3 - x(x-2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} 4x^3 + x^2 - 2x, & \text{если } 0 \le x < 2 \\ 4x^3 - x^2 + 2x, & \text{если } 2 \le x \le 3 \end{cases}$

2. Поиск стационарных и критических точек
Найдем производную функции на каждом из интервалов, чтобы найти стационарные точки (где производная равна нулю).
а) Для интервала $(0; 2)$:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 + 2x - 2 = 0$, что эквивалентно $6x^2 + x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Этот корень принадлежит интервалу $(0; 2)$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$. Этот корень не принадлежит отрезку $[0; 3]$.
б) Для интервала $(2; 3)$:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 - 2x + 2 = 0$, что эквивалентно $6x^2 - x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1 - 24 = -23$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней, и на интервале $(2; 3)$ стационарных точек нет.
Точка $x=2$ является критической, так как в ней меняется аналитическое выражение для функции (и производная может не существовать).

3. Вычисление значений функции в ключевых точках
Теперь вычислим значения функции на концах отрезка ($x=0$ и $x=3$) и в найденных точках ($x=1/3$ и $x=2$).
$f(0) = 4(0)^3 + 0^2 - 2(0) = 0$.
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 4\left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27}$.
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2-2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$.
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3-2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$.

4. Сравнение значений
Мы получили четыре значения-кандидата: $0$, $-\frac{11}{27}$, $32$ и $105$.
Сравнивая эти числа, мы можем определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

Наибольшее значение
Наибольшим из полученных значений является $105$, которое достигается при $x=3$.
Ответ: $105$.

Наименьшее значение
Наименьшим из полученных значений является $-\frac{11}{27}$, которое достигается при $x=\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{11}{27}$.