Вопросы?, страница 344 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют дважды дифференцируемой в точке; на множестве?

2. Опишите, какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой вверх.

3. Сформулируйте признак выпуклости функции вниз; вверх.

4. Опишите, какую точку называют точкой перегиба.

1. Функцию $f(x)$ называют дважды дифференцируемой в точке $x_0$, если ее первая производная $f'(x)$ существует в некоторой окрестности точки $x_0$ и сама является дифференцируемой в этой точке. Значение производной от первой производной в точке $x_0$ называют второй производной и обозначают $f''(x_0)$.
Функцию называют дважды дифференцируемой на множестве (например, на интервале), если она дважды дифференцируема в каждой точке этого множества.
Ответ:

2. Функцию называют выпуклой вниз (или вогнутой) на интервале, если ее график на этом интервале расположен не выше любой своей хорды (отрезка, соединяющего две любые точки графика). Геометрически это означает, что график функции "изгибается" вверх.
Функцию называют выпуклой вверх (или просто выпуклой) на интервале, если ее график на этом интервале расположен не ниже любой своей хорды. Геометрически это означает, что график функции "изгибается" вниз.
Ответ:

3. Признак выпуклости функции связан со знаком ее второй производной. Пусть функция $f(x)$ дважды дифференцируема на интервале $I$.
- Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) \ge 0$, то функция является выпуклой вниз на этом интервале.
- Если для всех $x$ из интервала $I$ выполняется неравенство $f''(x) \le 0$, то функция является выпуклой вверх на этом интервале.
Ответ:

4. Точкой перегиба графика функции называется точка, в которой функция непрерывна и направление ее выпуклости меняется на противоположное (например, с выпуклости вверх на выпуклость вниз).
Геометрически в точке перегиба касательная к графику (если она существует) пересекает сам график. Для того чтобы точка $x_0$ была точкой перегиба функции $f(x)$, необходимо, чтобы ее вторая производная в этой точке была равна нулю ($f''(x_0) = 0$) или не существовала. Достаточным условием является смена знака второй производной при переходе через точку $x_0$.
Ответ: