Номер 44.2, страница 345 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

44.2. Найдите вторую производную функции:

1) $y = x^4$;

2) $y = 3 - 5x + x^3$;

3) $y = \frac{1}{x-1}$;

4) $y = \sqrt[3]{x}$;

5) $y = (1 - 3x)^3$;

6) $y = \cos 2x$;

7) $y = \sin^2 x$;

8) $y = x \cos x$.

1) Дана функция $y = x^4$. Чтобы найти вторую производную, сначала найдем первую производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.
Теперь найдем производную от полученной функции (первой производной), чтобы получить вторую производную:
$y'' = (4x^3)' = 4 \cdot (x^3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} = 12x^2$.
Ответ: $12x^2$.

2) Дана функция $y = 3 - 5x + x^3$. Дифференцируем функцию почленно, чтобы найти первую производную.
$y' = (3 - 5x + x^3)' = (3)' - (5x)' + (x^3)' = 0 - 5 \cdot 1 + 3x^2 = -5 + 3x^2$.
Теперь дифференцируем первую производную, чтобы найти вторую:
$y'' = (-5 + 3x^2)' = (-5)' + (3x^2)' = 0 + 3 \cdot 2x = 6x$.
Ответ: $6x$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{x-1}$. Представим ее в виде степенной функции: $y = (x-1)^{-1}$.
Найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:
$y' = ((x-1)^{-1})' = -1 \cdot (x-1)^{-1-1} \cdot (x-1)' = -1 \cdot (x-1)^{-2} \cdot 1 = -(x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (-(x-1)^{-2})' = -(-2) \cdot (x-1)^{-2-1} \cdot (x-1)' = 2(x-1)^{-3} \cdot 1 = \frac{2}{(x-1)^3}$.
Ответ: $\frac{2}{(x-1)^3}$.

4) Дана функция $y = \sqrt[3]{x}$. Представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.
Найдем первую производную по правилу дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{9}x^{-5/3}$.
Результат можно также записать в виде: $y'' = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$.
Ответ: $-\frac{2}{9}x^{-5/3}$.

5) Дана функция $y = (1 - 3x)^3$. Используем цепное правило для нахождения первой производной.
$y' = ((1-3x)^3)' = 3(1-3x)^{3-1} \cdot (1-3x)' = 3(1-3x)^2 \cdot (-3) = -9(1-3x)^2$.
Теперь найдем вторую производную, снова применив цепное правило:
$y'' = (-9(1-3x)^2)' = -9 \cdot 2(1-3x)^{2-1} \cdot (1-3x)' = -18(1-3x) \cdot (-3) = 54(1-3x)$.
Ответ: $54(1-3x)$.

6) Дана функция $y = \cos(2x)$. Используем цепное правило для нахождения первой производной, где $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$.
$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.
Найдем вторую производную, где $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$:
$y'' = (-2\sin(2x))' = -2 \cdot (\cos(2x) \cdot (2x)') = -2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -4\cos(2x)$.
Ответ: $-4\cos(2x)$.

7) Дана функция $y = \sin^2 x$, что то же самое, что и $y = (\sin x)^2$.
Найдем первую производную по цепному правилу:
$y' = ((\sin x)^2)' = 2(\sin x)^{2-1} \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, упростим первую производную: $y' = \sin(2x)$.
Теперь найдем вторую производную:
$y'' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.
Ответ: $2\cos(2x)$.

8) Дана функция $y = x \cos x$. Для нахождения первой производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
$y' = (x)'\cos x + x(\cos x)' = 1 \cdot \cos x + x(-\sin x) = \cos x - x\sin x$.
Теперь найдем вторую производную, дифференцируя полученное выражение почленно. Для второго слагаемого снова применим правило произведения:
$y'' = (\cos x - x\sin x)' = (\cos x)' - (x\sin x)' = -\sin x - ((x)'\sin x + x(\sin x)') = -\sin x - (1 \cdot \sin x + x \cos x) = -\sin x - \sin x - x\cos x = -2\sin x - x\cos x$.
Ответ: $-2\sin x - x\cos x$.