Номер 43.29, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = -5x^3 + x|x - 1|$ на промежутке $[0; 2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = -5x^3 + x|x-1|$ на промежутке $[0, 2]$, необходимо найти значения функции на концах промежутка и в критических точках (точках, где производная равна нулю или не существует), принадлежащих этому промежутку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Функция содержит модуль $|x-1|$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая на промежутке $[0, 2]$. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, — $x=1$.

1. На промежутке $x \in [0, 1]$ выражение под модулем $x-1 \le 0$, следовательно, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $f(x) = -5x^3 + x(1-x) = -5x^3 - x^2 + x$.

2. На промежутке $x \in [1, 2]$ выражение под модулем $x-1 \ge 0$, следовательно, $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $f(x) = -5x^3 + x(x-1) = -5x^3 + x^2 - x$.

Таким образом, функция $f(x)$ является кусочно-заданной: $f(x) = \begin{cases} -5x^3 - x^2 + x, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ -5x^3 + x^2 - x, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

Теперь найдем критические точки.

На интервале $(0, 1)$ найдем производную: $f'(x) = (-5x^3 - x^2 + x)' = -15x^2 - 2x + 1$. Приравняем производную к нулю для нахождения стационарных точек: $-15x^2 - 2x + 1 = 0 \implies 15x^2 + 2x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = 2^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-1) = 4 + 60 = 64$. Корни уравнения: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 15} = \frac{-2 \pm 8}{30}$. $x_1 = \frac{-2 + 8}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0, 2]$. $x_2 = \frac{-2 - 8}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$. Этот корень не принадлежит промежутку $[0, 2]$. Значит, $x=1/5$ является критической точкой.

На интервале $(1, 2)$ найдем производную: $f'(x) = (-5x^3 + x^2 - x)' = -15x^2 + 2x - 1$. Приравняем производную к нулю: $-15x^2 + 2x - 1 = 0 \implies 15x^2 - 2x + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 1 = 4 - 60 = -56$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и на интервале $(1, 2)$ стационарных точек нет.

Проверим точку $x=1$, в которой меняется аналитическое задание функции. В этой точке производная может не существовать. Найдем левую и правую производные: $f'_-(1) = -15(1)^2 - 2(1) + 1 = -15 - 2 + 1 = -16$. $f'_+(1) = -15(1)^2 + 2(1) - 1 = -15 + 2 - 1 = -14$. Поскольку односторонние производные не равны ($f'_-(1) \neq f'_+(1)$), производная в точке $x=1$ не существует, следовательно, $x=1$ является критической точкой.

Вычислим значения функции в найденных критических точках ($x=1/5$, $x=1$) и на концах заданного промежутка ($x=0$, $x=2$).

• $f(0) = -5(0)^3 + 0|0-1| = 0$
• $f(1/5) = -5(1/5)^3 - (1/5)^2 + 1/5 = -5/125 - 1/25 + 1/5 = -1/25 - 1/25 + 5/25 = 3/25$
• $f(1) = -5(1)^3 + 1|1-1| = -5 + 0 = -5$
• $f(2) = -5(2)^3 + 2|2-1| = -5(8) + 2(1) = -40 + 2 = -38$

Сравним полученные значения: $0$, $3/25$, $-5$, $-38$.

Наибольшее из этих значений равно $3/25$.

Наименьшее из этих значений равно $-38$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[0, 2]$ равно $3/25$, а наименьшее значение равно $-38$.