Номер 43.26, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.26. Пункты А, В и С находятся в вершинах прямоугольного треугольника АВС ($ \angle ACB = 90^\circ $), $ AC = 285 $ км, $ BC = 60 $ км. Пункты А и С соединяет железная дорога. В какую точку отрезка АС следует провести грунтовую дорогу из пункта В, чтобы время пребывания в пути от пункта А до пункта В было наименьшим, если известно, что скорость движения по железной дороге равна $ 52 $ км/ч, а по грунтовой дороге — $ 20 $ км/ч?

Пусть точка D находится на отрезке AC. Обозначим расстояние от точки C до точки D через $x$ км. Тогда $CD = x$. Поскольку точка D лежит на отрезке AC, то $0 \le x \le 285$.

Путь от A до B состоит из двух участков:

1. Участок AD по железной дороге. Длина этого участка: $AD = AC - CD = 285 - x$ км. Скорость движения на этом участке $v_{жд} = 52$ км/ч.
2. Участок DB по грунтовой дороге. Треугольник BCD является прямоугольным, так как $\angle ACB = 90^\circ$. По теореме Пифагора найдем длину этого участка: $DB = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{60^2 + x^2} = \sqrt{3600 + x^2}$ км. Скорость движения на этом участке $v_{гр} = 20$ км/ч.

Общее время в пути $T$ является функцией от $x$ и равно сумме времени движения по каждому участку:

$T(x) = \frac{AD}{v_{жд}} + \frac{DB}{v_{гр}} = \frac{285 - x}{52} + \frac{\sqrt{3600 + x^2}}{20}$

Чтобы найти наименьшее время, необходимо найти минимум функции $T(x)$ на отрезке $[0, 285]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{285 - x}{52} + \frac{(3600 + x^2)^{1/2}}{20}\right)' = -\frac{1}{52} + \frac{1}{20} \cdot \frac{1}{2}(3600 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = -\frac{1}{52} + \frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$T'(x) = 0$

$-\frac{1}{52} + \frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}} = 0$

$\frac{x}{20\sqrt{3600 + x^2}} = \frac{1}{52}$

$52x = 20\sqrt{3600 + x^2}$

Разделим обе части на 4:

$13x = 5\sqrt{3600 + x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (поскольку $x$ - это расстояние, $x \ge 0$, то это преобразование является равносильным):

$(13x)^2 = (5\sqrt{3600 + x^2})^2$

$169x^2 = 25(3600 + x^2)$

$169x^2 = 90000 + 25x^2$

$169x^2 - 25x^2 = 90000$

$144x^2 = 90000$

$x^2 = \frac{90000}{144} = \frac{900 \cdot 100}{144} = \frac{900}{144} \cdot 100 = \frac{100}{16} \cdot 100 = 625$

$x = \sqrt{625} = 25$

Полученное значение $x = 25$ принадлежит отрезку $[0, 285]$. Это единственная критическая точка на данном интервале. Можно проверить, что при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. Таким образом, наименьшее время пребывания в пути будет достигнуто, если грунтовая дорога будет соединять пункт B с точкой D на отрезке AC, находящейся на расстоянии 25 км от пункта C.

Ответ: грунтовую дорогу следует провести из пункта B в точку на отрезке AC, находящуюся на расстоянии 25 км от пункта C.