Номер 43.25, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.25. На координатной плоскости расположен прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Вершина $A$ имеет координаты $(-2; 0)$, вершина $B$ принадлежит отрезку $[2; 3]$ оси абсцисс, а вершина $C$ — параболе $y = x^2 - 4x + 1$. Какими должны быть координаты точки $C$, чтобы площадь треугольника $ABC$ была наибольшей?

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ будут следующими:
$A(-2; 0)$ (по условию).
Вершина $B$ принадлежит отрезку $[2; 3]$ оси абсцисс, следовательно, её ордината равна нулю. Обозначим её абсциссу как $b$. Тогда координаты точки $B$ будут $(b; 0)$, где $b \in [2; 3]$.
Вершина $C$ лежит на параболе $y = x^2 - 4x + 1$. Обозначим её координаты как $(x_C; y_C)$, где $y_C = x_C^2 - 4x_C + 1$.

В треугольнике $ABC$ угол $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что катеты $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Поскольку точки $A(-2; 0)$ и $B(b; 0)$ лежат на оси абсцисс ($y=0$), то катет $AB$ является горизонтальным отрезком. Для того чтобы катет $BC$ был перпендикулярен горизонтальному катету $AB$, он должен быть вертикальным отрезком. Это означает, что абсциссы точек $B$ и $C$ должны совпадать. Таким образом, $x_C = b$.

Теперь мы можем выразить координаты всех вершин через одну переменную $b$:
$A(-2; 0)$
$B(b; 0)$, где $b \in [2; 3]$
$C(b; b^2 - 4b + 1)$

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$.
Найдем длины катетов:
Длина катета $AB$ — это расстояние между точками $A(-2; 0)$ и $B(b; 0)$:
$AB = |b - (-2)| = |b + 2|$. Поскольку $b \in [2; 3]$, то $b+2$ всегда положительно, следовательно, $AB = b + 2$.
Длина катета $BC$ — это расстояние между точками $B(b; 0)$ и $C(b; b^2 - 4b + 1)$:
$BC = |(b^2 - 4b + 1) - 0| = |b^2 - 4b + 1|$.

Исследуем знак выражения $b^2 - 4b + 1$ на отрезке $[2; 3]$.
Найдем корни уравнения $b^2 - 4b + 1 = 0$: $b = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Приблизительные значения корней: $2 - \sqrt{3} \approx 0.27$ и $2 + \sqrt{3} \approx 3.73$.
На интервале $(2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3})$ парабола $y = b^2 - 4b + 1$ принимает отрицательные значения. Поскольку отрезок $[2; 3]$ полностью находится внутри этого интервала, то для всех $b \in [2; 3]$ выражение $b^2 - 4b + 1$ отрицательно.
Следовательно, $|b^2 - 4b + 1| = -(b^2 - 4b + 1) = -b^2 + 4b - 1$.

Теперь запишем формулу для площади треугольника как функцию от $b$ на отрезке $[2; 3]$:
$S(b) = \frac{1}{2} \cdot (b + 2) \cdot (-b^2 + 4b - 1)$
$S(b) = \frac{1}{2} (-b^3 + 4b^2 - b - 2b^2 + 8b - 2)$
$S(b) = \frac{1}{2} (-b^3 + 2b^2 + 7b - 2)$

Чтобы найти наибольшее значение площади, нужно исследовать эту функцию на отрезке $[2; 3]$. Для этого найдем её производную и приравняем к нулю, чтобы найти критические точки.
$S'(b) = \frac{1}{2} (-3b^2 + 4b + 7)$
Приравняем производную к нулю: $-3b^2 + 4b + 7 = 0$ или $3b^2 - 4b - 7 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2$
$b_1 = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$b_2 = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Критическая точка $b_2 = -1$ не принадлежит отрезку $[2; 3]$.
Критическая точка $b_1 = \frac{7}{3}$ принадлежит отрезку $[2; 3]$, так как $2 = \frac{6}{3}$ и $3 = \frac{9}{3}$.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно сравнить её значения в критической точке $b = \frac{7}{3}$ и на концах отрезка $b=2$ и $b=3$.
$S(2) = \frac{1}{2} (-2^3 + 2(2^2) + 7(2) - 2) = \frac{1}{2} (-8 + 8 + 14 - 2) = \frac{12}{2} = 6$.
$S(3) = \frac{1}{2} (-3^3 + 2(3^2) + 7(3) - 2) = \frac{1}{2} (-27 + 18 + 21 - 2) = \frac{10}{2} = 5$.
$S(\frac{7}{3}) = \frac{1}{2} (-(\frac{7}{3})^3 + 2(\frac{7}{3})^2 + 7(\frac{7}{3}) - 2) = \frac{1}{2} (-\frac{343}{27} + \frac{98}{9} + \frac{49}{3} - 2) = \frac{1}{2} (\frac{-343 + 294 + 441 - 54}{27}) = \frac{1}{2} (\frac{338}{27}) = \frac{169}{27}$.
Сравним полученные значения: $S(2) = 6 = \frac{162}{27}$, $S(3) = 5 = \frac{135}{27}$, $S(\frac{7}{3}) = \frac{169}{27}$.
Наибольшее значение площади $\frac{169}{27}$ достигается при $b = \frac{7}{3}$.

Теперь найдем координаты точки $C$, при которых площадь максимальна. Мы знаем, что $x_C = b = \frac{7}{3}$.
Найдем ординату $y_C$:
$y_C = b^2 - 4b + 1 = (\frac{7}{3})^2 - 4(\frac{7}{3}) + 1 = \frac{49}{9} - \frac{28}{3} + 1 = \frac{49 - 84 + 9}{9} = \frac{58 - 84}{9} = -\frac{26}{9}$.
Следовательно, координаты точки $C$ равны $(\frac{7}{3}; -\frac{26}{9})$.

Ответ: $(\frac{7}{3}; -\frac{26}{9})$.