Номер 43.19, страница 338 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть $a$ — длина основания равнобедренного треугольника, а $b$ — длина боковой стороны. Периметр $P$ треугольника равен $P = a + 2b$.

По условию задачи, $P = 48$ см, следовательно:

$a + 2b = 48$

Выразим длину боковой стороны $b$ через длину основания $a$:

$2b = 48 - a \implies b = 24 - \frac{a}{2}$

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника, в частности, сумма длин двух боковых сторон должна быть больше длины основания: $2b > a$. Подставив $2b = 48 - a$, получаем $48 - a > a$, что приводит к $48 > 2a$, или $a < 24$. Также длина основания должна быть положительной, $a > 0$. Таким образом, $0 < a < 24$.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $h$ — высота, опущенная на основание. Высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора:

$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$

$h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$

Подставим в это выражение $b = 24 - \frac{a}{2}$:

$h = \sqrt{\left(24 - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{576 - 2 \cdot 24 \cdot \frac{a}{2} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{576 - 24a}$

Теперь запишем формулу для площади как функцию от $a$:

$S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}$

Чтобы найти максимальное значение площади, нужно найти максимум этой функции. Максимум функции $S(a)$ будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум функции $S^2(a)$, так как площадь является неотрицательной величиной. Рассмотрим функцию $f(a) = S^2(a)$ для упрощения вычислений:

$f(a) = \left(\frac{1}{2} a \sqrt{576 - 24a}\right)^2 = \frac{1}{4} a^2 (576 - 24a) = 144a^2 - 6a^3$

Найдем производную этой функции по $a$:

$f'(a) = (144a^2 - 6a^3)' = 2 \cdot 144a - 3 \cdot 6a^2 = 288a - 18a^2$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$288a - 18a^2 = 0$

$18a(16 - a) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $a = 0$ или $a = 16$.

Значение $a=0$ не входит в область определения $0 < a < 24$ и соответствует вырожденному треугольнику с нулевой площадью (минимум). Значение $a = 16$ находится в допустимом интервале.

Чтобы убедиться, что $a = 16$ является точкой максимума, можно исследовать знак производной. Производная $f'(a) = 18a(16 - a)$ является параболой с ветвями вниз. Она положительна на интервале $(0, 16)$ и отрицательна на интервале $(16, \infty)$. Следовательно, в точке $a = 16$ функция $f(a)$ достигает своего максимума.

При $a = 16$ см боковая сторона $b = 24 - \frac{16}{2} = 16$ см. Треугольник является равносторонним, что является известным результатом для задачи о нахождении треугольника максимальной площади при заданном периметре.

Ответ: 16 см.