Номер 43.16, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.16. В полукруг радиусом 6 см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть одна из сторон вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга. Введем систему координат так, чтобы центр полукруга находился в начале координат $(0, 0)$, а его диаметр — на оси абсцисс (Ox). Уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Поскольку радиус $R = 6$ см, уравнение будет $x^2 + y^2 = 36$.

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на диаметре, имеют координаты $(-x, 0)$ и $(x, 0)$, а две другие вершины, лежащие на дуге полукруга, — $(-x, y)$ и $(x, y)$. Тогда стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$, где $x > 0$ и $y > 0$. Так как вершина $(x, y)$ лежит на полукруге, ее координаты удовлетворяют уравнению $x^2 + y^2 = 36$. Отсюда можно выразить $y$ через $x$: $y = \sqrt{36 - x^2}$.

Периметр прямоугольника $P$ выражается формулой $P = 2(2x + y)$. Подставим в нее выражение для $y$:

$P(x) = 2(2x + \sqrt{36 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{36 - x^2}$

Чтобы найти наибольший периметр, необходимо найти максимум функции $P(x)$ на интервале $(0, 6)$. Для этого найдем производную функции $P(x)$ по переменной $x$:

$P'(x) = \frac{d}{dx}(4x + 2\sqrt{36 - x^2}) = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{36 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$4 - \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}} = 0$

$4 = \frac{2x}{\sqrt{36 - x^2}}$

$2\sqrt{36 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$4(36 - x^2) = x^2$

$144 - 4x^2 = x^2$

$5x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{5}$

$x = \sqrt{\frac{144}{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Убедимся, что эта точка является точкой максимума. При $x < \frac{12\sqrt{5}}{5}$ производная $P'(x) > 0$ (функция возрастает), а при $x > \frac{12\sqrt{5}}{5}$ производная $P'(x) < 0$ (функция убывает). Следовательно, в этой точке достигается максимум.

Теперь найдем длины сторон прямоугольника:

Длина одной стороны (основания): $2x = 2 \cdot \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{24\sqrt{5}}{5}$ см.

Длина другой стороны (высоты): $y = \sqrt{36 - x^2} = \sqrt{36 - \frac{144}{5}} = \sqrt{\frac{180 - 144}{5}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны $\frac{24\sqrt{5}}{5}$ см и $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ см.