Номер 43.17, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.17. Две вершины прямоугольника принадлежат графику функции $y = 12 - x^2$, $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, а две другие — оси абсцисс. Какую наибольшую площадь может иметь такой прямоугольник?

Пусть вершины прямоугольника, лежащие на оси абсцисс (оси $Ox$), имеют координаты $(-x_0, 0)$ и $(x_0, 0)$, где $x_0 > 0$. Так как функция $y = 12 - x^2$ является четной (ее график симметричен относительно оси ординат), то две другие вершины, лежащие на графике, будут иметь координаты $(-x_0, y_0)$ и $(x_0, y_0)$, где $y_0 = 12 - x_0^2$.

Ширина такого прямоугольника будет равна $x_0 - (-x_0) = 2x_0$. Высота прямоугольника будет равна $y_0 = 12 - x_0^2$. Для существования прямоугольника его высота должна быть положительной, то есть $12 - x_0^2 > 0$.

Площадь прямоугольника $S$ можно выразить как функцию от $x_0$:$S(x_0) = (\text{ширина}) \cdot (\text{высота}) = 2x_0(12 - x_0^2) = 24x_0 - 2x_0^3$.

В условии задана область определения $D(y) = [-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}]$, что означает $-2\sqrt{3} \le x_0 \le 2\sqrt{3}$. Учитывая, что мы взяли $x_0 > 0$ и высота должна быть положительной ($x_0^2 < 12 \Rightarrow x_0 < \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$), мы ищем наибольшее значение функции $S(x_0)$ на интервале $x_0 \in (0, 2\sqrt{3})$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции площади по $x_0$:$S'(x_0) = (24x_0 - 2x_0^3)' = 24 - 6x_0^2$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$24 - 6x_0^2 = 0$$6x_0^2 = 24$$x_0^2 = 4$$x_0 = \pm 2$.

Так как мы рассматриваем интервал $(0, 2\sqrt{3})$, нам подходит только значение $x_0 = 2$. Это значение принадлежит заданному интервалу, так как $2 < 2\sqrt{3} \approx 3.46$.

Проверим, является ли $x_0 = 2$ точкой максимума. Можно исследовать знак производной. Слева от точки $x_0=2$ (например, при $x_0=1$) $S'(1) = 24 - 6(1)^2 = 18 > 0$, функция возрастает. Справа от точки $x_0=2$ (например, при $x_0=3$) $S'(3) = 24 - 6(3)^2 = 24 - 54 = -30 < 0$, функция убывает. Следовательно, $x_0 = 2$ — точка максимума.

Теперь вычислим наибольшую площадь, подставив найденное значение $x_0 = 2$ в формулу для площади:$S_{max} = S(2) = 24(2) - 2(2)^3 = 48 - 2 \cdot 8 = 48 - 16 = 32$.

Ответ: 32.