Номер 43.15, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.15. В полукруг радиусом 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть полукруг радиусом $R=20$ см расположен в верхней полуплоскости с центром в начале координат. Уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$. Соответственно, уравнение дуги полукруга — $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Рассмотрим прямоугольник, вписанный в этот полукруг. Для того чтобы площадь была максимальной, одна из его сторон должна лежать на диаметре полукруга. Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Вершина $(x, y)$ лежит на дуге полукруга, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Стороны прямоугольника равны $2x$ и $y$. Площадь прямоугольника $S$ является функцией от $x$:

$S(x) = (2x) \cdot y = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$

Нам нужно найти значение $x$ из интервала $(0, R)$, при котором функция $S(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Для упрощения вычислений будем максимизировать квадрат площади, $S^2(x)$, так как функция $S(x)$ положительна на рассматриваемом интервале и достигает максимума при том же значении $x$, что и $S^2(x)$.

$f(x) = S^2(x) = (2x\sqrt{R^2 - x^2})^2 = 4x^2(R^2 - x^2) = 4R^2x^2 - 4x^4$

Найдем производную функции $f(x)$ по $x$:

$f'(x) = (4R^2x^2 - 4x^4)' = 8R^2x - 16x^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8R^2x - 16x^3 = 0$

$8x(R^2 - 2x^2) = 0$

Поскольку $x > 0$ (прямоугольник имеет ненулевую ширину), мы можем заключить, что:

$R^2 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = R^2$

$x^2 = \frac{R^2}{2}$

$x = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$

Это единственная критическая точка в интервале $(0, R)$, и она является точкой максимума для функции площади.

Теперь, зная $x$, найдем стороны прямоугольника. Подставим заданное значение радиуса $R = 20$ см.

$x = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см

Одна сторона прямоугольника имеет длину $2x$:

$2x = 2 \cdot 10\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ см.

Другая сторона имеет длину $y$:

$y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{20^2 - (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{400 - 100 \cdot 2} = \sqrt{400 - 200} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника с наибольшей площадью равны $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.

Ответ: $20\sqrt{2}$ см и $10\sqrt{2}$ см.