Номер 43.12, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.12. Представьте число 18 в виде суммы трёх неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как $8 : 3$, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть искомые три неотрицательных числа — это $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 18:

$a + b + c = 18$

Два из этих чисел, например $a$ и $b$, относятся как 8 : 3. Это можно записать с помощью неотрицательного коэффициента пропорциональности $k$ ($k \ge 0$):

$a = 8k$, $b = 3k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы чисел, чтобы выразить третье число $c$ через $k$:

$8k + 3k + c = 18$

$11k + c = 18$

$c = 18 - 11k$

Так как все числа по условию неотрицательные, мы должны учесть следующие ограничения:

$a = 8k \ge 0 \implies k \ge 0$

$b = 3k \ge 0 \implies k \ge 0$

$c = 18 - 11k \ge 0 \implies 11k \le 18 \implies k \le \frac{18}{11}$

Таким образом, коэффициент $k$ должен находиться в пределах отрезка $[0, \frac{18}{11}]$.

Теперь составим функцию, которую нужно минимизировать, — сумму кубов трёх чисел:

$S(k) = a^3 + b^3 + c^3 = (8k)^3 + (3k)^3 + (18 - 11k)^3$

$S(k) = 512k^3 + 27k^3 + (18 - 11k)^3 = 539k^3 + (18 - 11k)^3$

Для нахождения наименьшего значения функции $S(k)$ на отрезке $[0, \frac{18}{11}]$, найдем её производную и приравняем к нулю для определения критических точек:

$S'(k) = (539k^3 + (18 - 11k)^3)'$

$S'(k) = 539 \cdot 3k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (18 - 11k)'$

$S'(k) = 1617k^2 + 3(18 - 11k)^2 \cdot (-11)$

$S'(k) = 1617k^2 - 33(324 - 396k + 121k^2)$

$S'(k) = 1617k^2 - 10692 + 13068k - 3993k^2$

$S'(k) = -2376k^2 + 13068k - 10692$

Приравняем производную к нулю:

$-2376k^2 + 13068k - 10692 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на -99:

$24k^2 - 132k + 108 = 0$

Разделим еще на 12:

$2k^2 - 11k + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 121 - 72 = 49$

Найдем корни:

$k_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$k_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 7}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$

Проверим, входят ли найденные корни в наш отрезок $[0, \frac{18}{11}]$.

Поскольку $\frac{18}{11} \approx 1.636$, корень $k_1 = 1$ принадлежит отрезку, а корень $k_2 = 4.5$ — нет.

Таким образом, наименьшее значение функции $S(k)$ на отрезке нужно искать среди её значений в критической точке $k=1$ и на концах отрезка $k=0$ и $k=\frac{18}{11}$.

1. При $k=1$:

$a = 8 \cdot 1 = 8$

$b = 3 \cdot 1 = 3$

$c = 18 - 11 \cdot 1 = 7$

Сумма кубов: $S(1) = 8^3 + 3^3 + 7^3 = 512 + 27 + 343 = 882$.

2. При $k=0$:

$a = 8 \cdot 0 = 0$

$b = 3 \cdot 0 = 0$

$c = 18 - 11 \cdot 0 = 18$

Сумма кубов: $S(0) = 0^3 + 0^3 + 18^3 = 5832$.

3. При $k=\frac{18}{11}$:

$a = 8 \cdot \frac{18}{11} = \frac{144}{11}$

$b = 3 \cdot \frac{18}{11} = \frac{54}{11}$

$c = 18 - 11 \cdot \frac{18}{11} = 0$

Сумма кубов: $S(\frac{18}{11}) = (\frac{144}{11})^3 + (\frac{54}{11})^3 + 0^3 = \frac{2985984 + 157464}{1331} = \frac{3143448}{1331} \approx 2361.7$.

Сравнивая полученные значения ($882$, $5832$, $2361.7$), мы видим, что наименьшее значение достигается при $k=1$. При этом значении $k$ искомые числа равны 8, 3 и 7.

Ответ: 8, 3, 7.