Номер 43.9, страница 337 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$, $[0; \frac{\pi}{3}]$;

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin 2x + \cos 2x - 5$, $[0; \frac{\pi}{3}]$;

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2\sin 2x + \cos 4x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, мы можем упростить выражение для функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Применив эту формулу к $\cos 4x$ (полагая $\alpha = 2x$), получим:$\cos 4x = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Теперь подставим это в исходную функцию:$f(x) = 2\sin 2x + 1 - 2\sin^2(2x)$.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $t = \sin 2x$. Функция примет вид:$g(t) = -2t^2 + 2t + 1$.

Далее определим, в каких пределах изменяется переменная $t$, когда $x$ изменяется на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$. Если $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то аргумент $2x$ находится в пределах $[0; \frac{2\pi}{3}]$. На отрезке $[0; \frac{2\pi}{3}]$ функция $\sin(2x)$ сначала возрастает от $\sin(0)=0$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$, а затем убывает до $\sin(\frac{2\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, множество значений $t$ на данном отрезке — это $[0; 1]$.

Наша задача теперь сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ на отрезке $t \in [0; 1]$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение достигается в вершине параболы. Координата вершины: $t_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$. Так как $t_в = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[0; 1]$, наибольшее значение функции будет в этой точке:$g_{наиб} = g(\frac{1}{2}) = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) + 1 = -2 \cdot \frac{1}{4} + 1 + 1 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.

Наименьшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов. Проверим значения в точках $t=0$ и $t=1$:$g(0) = -2(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$.$g(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$. Наименьшее значение функции $g(t)$ на отрезке $[0; 1]$ равно 1.

Таким образом, наибольшее значение функции $f(x)$ на заданном отрезке равно $\frac{3}{2}$, а наименьшее — 1.
Ответ: наибольшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наименьшее значение функции равно 1.

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - 5$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{3}]$, преобразуем часть выражения с помощью метода введения вспомогательного угла.

Рассмотрим выражение $\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x$. Вынесем за скобки множитель $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2$:$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x)$.

Заметим, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:$2(\sin 2x \cos\frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{6}) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь исходная функция имеет вид:$f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 5$.

Найдем область значений аргумента синуса. Если $x \in [0; \frac{\pi}{3}]$, то:$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$$0 \le 2x \le \frac{2\pi}{3}$$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{6} \le 2x + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$.

Пусть $u = 2x + \frac{\pi}{6}$. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значение $\sin u$ на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]$. На этом отрезке функция синус возрастает от $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ до максимального значения $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, а затем убывает до $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Таким образом, наименьшее значение $\sin(2x + \frac{\pi}{6})$ на отрезке равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно 1.

Теперь можем найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$:Наибольшее значение: $f_{наиб} = 2 \cdot 1 - 5 = -3$. Наименьшее значение: $f_{наим} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 5 = 1 - 5 = -4$.
Ответ: наибольшее значение функции равно -3, наименьшее значение функции равно -4.