Номер 43.4, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном отрезке:

1) $f(x) = \sqrt{9+8x-x^2}$, $[0; 7];$

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = (x-1)^2(x+5)^2$, $[-3; 2];$

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$, $[-6; -1].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$ и найдя точки, в которых производная не существует.
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

1) $f(x) = \sqrt{9 + 8x - x^2}$ на отрезке $[0; 7]$.

1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sqrt{9 + 8x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} \cdot (9 + 8x - x^2)' = \frac{8 - 2x}{2\sqrt{9 + 8x - x^2}} = \frac{4 - x}{\sqrt{9 + 8x - x^2}}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$4 - x = 0 \Rightarrow x = 4$.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $9 + 8x - x^2 = 0$, что происходит при $x = -1$ и $x = 9$.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[0; 7]$.
Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[0; 7]$.
Точки $x = -1$ и $x = 9$ не принадлежат интервалу $(0; 7)$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 4$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = 7$:
$f(0) = \sqrt{9 + 8 \cdot 0 - 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
$f(4) = \sqrt{9 + 8 \cdot 4 - 4^2} = \sqrt{9 + 32 - 16} = \sqrt{25} = 5$.
$f(7) = \sqrt{9 + 8 \cdot 7 - 7^2} = \sqrt{9 + 56 - 49} = \sqrt{16} = 4$.

5. Сравнивая значения $3, 5, 4$, находим, что наименьшее значение функции равно $3$, а наибольшее равно $5$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 3$, наибольшее значение $f_{max} = 5$.

2) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}$ на отрезке $[-2; 4]$.

1. Найдём производную функции, используя правило дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(4x)'(x^2 + 1) - 4x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1) - 4x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x^2 + 4 - 8x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4(1 - x^2) = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Производная существует при всех $x$, так как знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю.

3. Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка $x = -2$ и $x = 4$:
$f(-2) = \frac{4(-2)}{(-2)^2 + 1} = \frac{-8}{5} = -1.6$.
$f(-1) = \frac{4(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-4}{2} = -2$.
$f(1) = \frac{4(1)}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2$.
$f(4) = \frac{4(4)}{4^2 + 1} = \frac{16}{17}$.

5. Сравнивая значения $-1.6, -2, 2, \frac{16}{17}$, находим, что наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее равно $2$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -2$, наибольшее значение $f_{max} = 2$.

3) $f(x) = (x - 1)^2(x + 5)^2$ на отрезке $[-3; 2]$.

1. Преобразуем функцию: $f(x) = ((x-1)(x+5))^2 = (x^2 + 4x - 5)^2$.
Найдём производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2 + 4x - 5) \cdot (x^2 + 4x - 5)' = 2(x^2 + 4x - 5)(2x + 4) = 4(x+2)(x-1)(x+5)$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда $4(x+2)(x-1)(x+5) = 0$.
Отсюда $x_1 = -2, x_2 = 1, x_3 = -5$.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[-3; 2]$.
Точки $x = -2$ и $x = 1$ принадлежат отрезку. Точка $x=-5$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критических точках $x = -2, x=1$ и на концах отрезка $x = -3, x = 2$:
$f(-3) = ((-3) - 1)^2((-3) + 5)^2 = (-4)^2 \cdot 2^2 = 16 \cdot 4 = 64$.
$f(-2) = ((-2) - 1)^2((-2) + 5)^2 = (-3)^2 \cdot 3^2 = 9 \cdot 9 = 81$.
$f(1) = (1 - 1)^2(1 + 5)^2 = 0^2 \cdot 6^2 = 0$.
$f(2) = (2 - 1)^2(2 + 5)^2 = 1^2 \cdot 7^2 = 49$.

5. Сравнивая значения $64, 81, 0, 49$, находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $81$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 0$, наибольшее значение $f_{max} = 81$.

4) $f(x) = -x - \frac{9}{x}$ на отрезке $[-6; -1]$.

1. Найдём производную функции:
$f'(x) = (-x - 9x^{-1})' = -1 - 9(-1)x^{-2} = -1 + \frac{9}{x^2}$.

2. Найдём критические точки. Производная равна нулю, когда:
$-1 + \frac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{9}{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.
Производная не существует при $x=0$, но эта точка не входит в заданный отрезок.

3. Выберем точки, принадлежащие отрезку $[-6; -1]$.
Точка $x = -3$ принадлежит отрезку. Точка $x=3$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = -3$ и на концах отрезка $x = -6, x = -1$:
$f(-6) = -(-6) - \frac{9}{-6} = 6 + 1.5 = 7.5$.
$f(-3) = -(-3) - \frac{9}{-3} = 3 + 3 = 6$.
$f(-1) = -(-1) - \frac{9}{-1} = 1 + 9 = 10$.

5. Сравнивая значения $7.5, 6, 10$, находим, что наименьшее значение функции равно $6$, а наибольшее равно $10$.
Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 6$, наибольшее значение $f_{max} = 10$.