Номер 42.32, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.32. При каких значениях параметра $a$ точка $x_0 = 0$ является точкой максимума функции $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + (a^2 - 1)x - 9$?

Для того чтобы точка $x_0 = 0$ являлась точкой максимума функции, должны выполняться два условия: необходимое (первая производная в этой точке равна нулю) и достаточное (вторая производная в этой точке отрицательна).

1. Нахождение первой производной и применение необходимого условия

Данная функция: $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + (a^2 - 1)x - 9$.

Найдем ее первую производную $y'(x)$:

$y'(x) = (\frac{x^3}{3})' - (ax^2)' + ((a^2 - 1)x)' - (9)' = x^2 - 2ax + a^2 - 1$.

Необходимое условие экстремума в точке $x_0 = 0$ — это $y'(0) = 0$. Подставим $x=0$ в выражение для производной:

$y'(0) = 0^2 - 2a(0) + a^2 - 1 = a^2 - 1$.

Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$a^2 - 1 = 0$

$(a - 1)(a + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для параметра $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

2. Применение достаточного условия максимума

Чтобы в точке $x_0 = 0$ был именно максимум, а не минимум, вторая производная в этой точке должна быть отрицательной, то есть $y''(0) < 0$.

Найдем вторую производную $y''(x)$, продифференцировав первую производную $y'(x)$:

$y''(x) = (x^2 - 2ax + a^2 - 1)' = 2x - 2a$.

Теперь подставим $x = 0$ в выражение для второй производной:

$y''(0) = 2(0) - 2a = -2a$.

Применим условие $y''(0) < 0$:

$-2a < 0$

Разделим обе части неравенства на $-2$, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$a > 0$.

3. Определение итогового значения параметра

Мы получили два условия, которым должен удовлетворять параметр $a$:

1. Из необходимого условия: $a=1$ или $a=-1$.
2. Из достаточного условия: $a > 0$.

Необходимо выбрать значение $a$, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно. Из двух возможных значений ($1$ и $-1$) условию $a > 0$ удовлетворяет только $a = 1$.

Следовательно, точка $x_0=0$ является точкой максимума функции при $a=1$.

Ответ: $a=1$.