Номер 43.1, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

43.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном отрезке:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$, $[-1; 3];$

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$, $[0; 2];$

3) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 60x - 7$, $[-1; 3];$

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$, $[-3; 0].$

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$ на отрезке $[-1; 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x - 3x^2 = 0$

$3x(2 - x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

3. Обе критические точки, $x=0$ и $x=2$, принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• $f(-1) = 3(-1)^2 - (-1)^3 = 3 \cdot 1 - (-1) = 3 + 1 = 4$
• $f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0$
• $f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$
• $f(3) = 3(3)^2 - (3)^3 = 3 \cdot 9 - 27 = 27 - 27 = 0$

5. Сравниваем полученные значения: $\{4, 0, 4, 0\}$. Наибольшее значение равно 4, наименьшее равно 0.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 4$, наименьшее значение $f_{наим.} = 0$.

2) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ на отрезке $[0; 2]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 5)' = 4x^3 - 4x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[0; 2]$.

Точки $x=0$ и $x=1$ принадлежат отрезку. Точка $x=-1$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в отобранных критических точках и на концах отрезка:

• $f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 5 = 5$
• $f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$
• $f(2) = (2)^4 - 2(2)^2 + 5 = 16 - 2 \cdot 4 + 5 = 16 - 8 + 5 = 13$

5. Сравниваем полученные значения: $\{5, 4, 13\}$. Наибольшее значение равно 13, наименьшее равно 4.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 13$, наименьшее значение $f_{наим.} = 4$.

3) $f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 60x - 7$ на отрезке $[-1; 3]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 9x^2 - 60x - 7)' = 6x^2 + 18x - 60$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 18x - 60 = 0$

Разделим уравнение на 6:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-1; 3]$.

Точка $x=2$ принадлежит отрезку. Точка $x=-5$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=3$:

• $f(-1) = 2(-1)^3 + 9(-1)^2 - 60(-1) - 7 = -2 + 9 + 60 - 7 = 60$
• $f(2) = 2(2)^3 + 9(2)^2 - 60(2) - 7 = 2 \cdot 8 + 9 \cdot 4 - 120 - 7 = 16 + 36 - 120 - 7 = -75$
• $f(3) = 2(3)^3 + 9(3)^2 - 60(3) - 7 = 2 \cdot 27 + 9 \cdot 9 - 180 - 7 = 54 + 81 - 180 - 7 = -52$

5. Сравниваем полученные значения: $\{60, -75, -52\}$. Наибольшее значение равно 60, наименьшее равно -75.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = 60$, наименьшее значение $f_{наим.} = -75$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x - 1}$ на отрезке $[-3; 0]$

Функция непрерывна на отрезке $[-3; 0]$, так как точка разрыва $x=1$ не входит в этот отрезок.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x^2 + 8)'(x - 1) - (x^2 + 8)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 8) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 8}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 1)^2}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат отрезку $[-3; 0]$.

Точка $x=-2$ принадлежит отрезку. Точка $x=4$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка $x=-3$ и $x=0$:

• $f(-3) = \frac{(-3)^2 + 8}{-3 - 1} = \frac{9 + 8}{-4} = \frac{17}{-4} = -4.25$
• $f(-2) = \frac{(-2)^2 + 8}{-2 - 1} = \frac{4 + 8}{-3} = \frac{12}{-3} = -4$
• $f(0) = \frac{0^2 + 8}{0 - 1} = \frac{8}{-1} = -8$

5. Сравниваем полученные значения: $\{-4.25, -4, -8\}$. Наибольшее значение равно -4, наименьшее равно -8.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб.} = -4$, наименьшее значение $f_{наим.} = -8$.