Номер 42.30, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.30. При каких значениях параметра $a$ функция $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a-1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19$ имеет положительную точку минимума?

Для того чтобы функция имела точку минимума, необходимо найти ее производную и приравнять к нулю. Точки, в которых производная равна нулю, являются стационарными (критическими) точками, среди которых могут быть точки минимума, максимума или перегиба.

Исходная функция: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a - 1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19$.

1. Находим первую производную функции по $x$:

$y' = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3a - 1}{2}x^2 + (2a^2 - a)x + 19\right)' = x^2 - 2 \cdot \frac{3a - 1}{2}x + (2a^2 - a) = x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a)$.

2. Находим стационарные точки, решая уравнение $y' = 0$:

$x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a) = 0$.

Для существования точки минимума и максимума необходимо, чтобы это квадратное уравнение имело два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ строго больше нуля.

$D = (-(3a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a) = (9a^2 - 6a + 1) - (8a^2 - 4a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$.

Условие $D > 0$ означает $(a - 1)^2 > 0$, что верно для всех $a$, кроме $a = 1$. При $a=1$ дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, и функция не имеет точек экстремума. Итак, $a \neq 1$.

Найдем корни уравнения (стационарные точки):

$x_{1,2} = \frac{(3a - 1) \pm \sqrt{(a - 1)^2}}{2} = \frac{(3a - 1) \pm (a - 1)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a - 1 + a - 1}{2} = \frac{4a - 2}{2} = 2a - 1$.

$x_2 = \frac{3a - 1 - (a - 1)}{2} = \frac{3a - 1 - a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Стационарные точки: $a$ и $2a - 1$.

3. Определяем, какая из точек является точкой минимума.

Для этого можно использовать вторую производную. В точке минимума $y'' > 0$.

$y'' = (x^2 - (3a - 1)x + (2a^2 - a))' = 2x - (3a - 1)$.

Подставим стационарные точки в $y''$:

$y''(a) = 2a - (3a - 1) = 1 - a$.

$y''(2a - 1) = 2(2a - 1) - (3a - 1) = 4a - 2 - 3a + 1 = a - 1$.

Теперь рассмотрим два случая, учитывая, что $a \neq 1$.

Случай 1: $a > 1$

В этом случае $a - 1 > 0$ и $1 - a < 0$.

Поскольку $y''(2a - 1) = a - 1 > 0$, то точка $x = 2a - 1$ является точкой минимума ($x_{min} = 2a - 1$).

Случай 2: $a < 1$

В этом случае $1 - a > 0$ и $a - 1 < 0$.

Поскольку $y''(a) = 1 - a > 0$, то точка $x = a$ является точкой минимума ($x_{min} = a$).

4. Применяем условие, что точка минимума положительна ($x_{min} > 0$).

Рассмотрим оба случая:

Для случая 1 ($a > 1$):

Точка минимума $x_{min} = 2a - 1$. Требуется, чтобы $2a - 1 > 0$, откуда $2a > 1$, то есть $a > \frac{1}{2}$.

Пересекая это условие с условием случая ($a > 1$), получаем $a > 1$.

Для случая 2 ($a < 1$):

Точка минимума $x_{min} = a$. Требуется, чтобы $a > 0$.

Пересекая это условие с условием случая ($a < 1$), получаем $0 < a < 1$.

5. Объединяем результаты.

Функция имеет положительную точку минимума, если $a > 1$ или $0 < a < 1$.

Объединяя эти интервалы, получаем, что $a$ принадлежит объединению $(0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.