gdz.top
Номер 42.23, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 42. Точки экстремума функции - номер 42.23, страница 330.
№42.22
№42.23 (с. 330)
Условие. №42.23 (с. 330)
42.23. При каких значениях $a$ функция $y = \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 4x - 15$ имеет только одну критическую точку?
Решение. №42.23 (с. 330)
Критические точки функции – это точки из области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Данная функция $y = \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 4x - 15$ является многочленом, поэтому она дифференцируема на всей числовой оси. Следовательно, ее критические точки — это точки, в которых производная равна нулю.
Найдем производную функции $y'$:
$y' = (\frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 4x - 15)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} - 2a \cdot 2x + 4 = x^2 - 4ax + 4$.
Чтобы найти критические точки, необходимо приравнять производную к нулю:
$x^2 - 4ax + 4 = 0$.
Функция будет иметь только одну критическую точку в том и только в том случае, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень.
Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
Для уравнения $x^2 - 4ax + 4 = 0$ коэффициенты равны: $A=1$, $B=-4a$, $C=4$.
Вычислим дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16a^2 - 16$.
Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$16a^2 - 16 = 0$
$16(a^2 - 1) = 0$
$a^2 = 1$
Отсюда $a = \pm\sqrt{1}$, то есть $a = 1$ или $a = -1$.
Таким образом, при $a=1$ и $a=-1$ функция имеет только одну критическую точку.
Ответ: $a = -1, a = 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 42.23 расположенного на странице 330 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42.23 (с. 330), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.