Номер 42.20, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.20. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x$;

2) $f(x) = \cos 2x - x\sqrt{3}$.

1) $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума, необходимо найти производную функции и проанализировать её знак.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{x}{2} - \sin x)' = (\frac{1}{2}x)' - (\sin x)' = \frac{1}{2} - \cos x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

Решениями этого уравнения являются $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую. Так как функция периодическая, достаточно рассмотреть один период, например, от $-\pi$ до $\pi$. Критические точки на этом отрезке: $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Интервалы: $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$ и $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$.

• Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает.
  $\frac{1}{2} - \cos x > 0 \Rightarrow \cos x < \frac{1}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.
  $\frac{1}{2} - \cos x < 0 \Rightarrow \cos x > \frac{1}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Найдём точки экстремума.

• В точках $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ знак производной меняется с «-» на «+». Следовательно, это точки локального минимума.
• В точках $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$) знак производной меняется с «+» на «-». Следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, точки минимума: $x_{min} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \cos 2x - x\sqrt{3}$

Действуем по тому же алгоритму.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos 2x - x\sqrt{3})' = -2\sin 2x - \sqrt{3}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow -2\sin 2x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого уравнения можно записать в виде двух серий:

$2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$ (эту серию можно записать и как $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$, так как $-\frac{\pi}{3}+\pi(k+1) = \frac{2\pi}{3}+\pi k$).

3. Определим знаки производной.

• Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
  $-2\sin 2x - \sqrt{3} > 0 \Rightarrow -2\sin 2x > \sqrt{3} \Rightarrow \sin 2x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Решением этого неравенства является $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.
  Разделив на 2, получаем: $\frac{2\pi}{3} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
  $-2\sin 2x - \sqrt{3} < 0 \Rightarrow \sin 2x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Решением этого неравенства является $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$.
  Разделив на 2, получаем: $-\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{2\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Найдём точки экстремума.

• В точках $x = \frac{2\pi}{3} + \pi k$ знак производной меняется с «-» на «+». Следовательно, это точки локального минимума.
• В точках $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ (или $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k$) знак производной меняется с «+» на «-». Следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k]$, убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, точки минимума: $x_{min} = \frac{2\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.