Номер 42.14, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.14. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x + \frac{4}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$;

3) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}$;

4) $f(x) = - \frac{1}{(x - 3)^2}$;

5) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 16}$;

6) $f(x) = 2\sqrt{x} - x$.

1) $f(x) = x + \frac{4}{x^2}$;

1. Находим область определения функции. Так как знаменатель дроби не может быть равен нулю, $x^2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:
$f'(x) = (x + 4x^{-2})' = 1 + 4(-2)x^{-3} = 1 - 8x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3} = \frac{x^3 - 8}{x^3}$.

3. Находим критические точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{x^3 - 8}{x^3} = 0 \Rightarrow x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения функции, однако она разбивает область определения на интервалы.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается точками $x=0$ и $x=2$: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x=-1$: $f'(-1) = 1 - \frac{8}{(-1)^3} = 1 + 8 = 9 > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(0; 2)$, например, при $x=1$: $f'(1) = 1 - \frac{8}{1^3} = 1 - 8 = -7 < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x=3$: $f'(3) = 1 - \frac{8}{3^3} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, и убывает на промежутке $(0; 2]$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $(0; 2]$; точка минимума $x_{min} = 2$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$;

1. Область определения функции: знаменатель не равен нулю, $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
$D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2-3)'(x-2) - (x^2-3)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2-3)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$.
Корни уравнения: $(x-1)(x-3) = 0$, следовательно $x_1=1$, $x_2=3$.
Производная не существует при $x=2$, но эта точка не входит в область определения функции.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен (кроме $x=2$), поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $g(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.
- На интервале $(-\infty; 1)$: $g(x) > 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1; 2)$: $g(x) < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(2; 3)$: $g(x) < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(3; +\infty)$: $g(x) > 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Промежутки возрастания: $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[1; 2)$ и $(2; 3]$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 1$.
В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума: $x_{min} = 3$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[1; 2)$ и $(2; 3]$; точка максимума $x_{max} = 1$, точка минимума $x_{min} = 3$.

3) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{9}{x^2}$;

1. Область определения функции: $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^2 + 9x^{-2})' = \frac{1}{4}(2x) + 9(-2)x^{-3} = \frac{x}{2} - \frac{18}{x^3} = \frac{x^4 - 36}{2x^3}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x^4 - 36 = 0 \Rightarrow (x^2 - 6)(x^2 + 6) = 0$.
Так как $x^2 + 6 > 0$ всегда, то $x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{6}$.
Производная не существует при $x=0$, что не входит в область определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; 0)$, $(0; \sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$.
- На $(-\infty; -\sqrt{6})$, например, $x=-3$: $f'(-3) = \frac{(-3)^4 - 36}{2(-3)^3} = \frac{81-36}{-54} < 0$. Функция убывает.
- На $(-\sqrt{6}; 0)$, например, $x=-1$: $f'(-1) = \frac{(-1)^4 - 36}{2(-1)^3} = \frac{1-36}{-2} > 0$. Функция возрастает.
- На $(0; \sqrt{6})$, например, $x=1$: $f'(1) = \frac{1^4 - 36}{2(1)^3} = \frac{1-36}{2} < 0$. Функция убывает.
- На $(\sqrt{6}; +\infty)$, например, $x=3$: $f'(3) = \frac{3^4 - 36}{2(3)^3} = \frac{81-36}{54} > 0$. Функция возрастает.

Промежутки возрастания: $[-\sqrt{6}; 0)$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $(0; \sqrt{6}]$.
В точке $x = -\sqrt{6}$ производная меняет знак с «-» на «+» — точка минимума.
В точке $x = \sqrt{6}$ производная меняет знак с «-» на «+» — точка минимума.
$x_{min} = -\sqrt{6}$, $x_{min} = \sqrt{6}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{6}; 0)$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $(0; \sqrt{6}]$; точки минимума $x_{min} = -\sqrt{6}$ и $x_{min} = \sqrt{6}$.

4) $f(x) = -\frac{1}{(x-3)^2}$;

1. Область определения функции: $(x-3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
$D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f(x) = -(x-3)^{-2}$
$f'(x) = -(-2)(x-3)^{-3} \cdot (x-3)' = 2(x-3)^{-3} = \frac{2}{(x-3)^3}$.

3. Находим критические точки.
Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{2}{(x-3)^3} = 0$, не имеет решений. Критических точек нет.
Производная не существует при $x=3$, но эта точка не входит в область определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 3)$: $x-3 < 0$, поэтому $(x-3)^3 < 0$, и $f'(x) < 0$. Функция убывает.
- На интервале $(3; +\infty)$: $x-3 > 0$, поэтому $(x-3)^3 > 0$, и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Промежуток возрастания: $(3; +\infty)$.
Промежуток убывания: $(-\infty; 3)$.
Так как критических точек нет, то и точек экстремума у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(3; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 3)$; точек экстремума нет.

5) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 16}$;

1. Область определения функции: $x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4$.
$D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2-16) - x^2(x^2-16)'}{(x^2-16)^2} = \frac{2x(x^2-16) - x^2(2x)}{(x^2-16)^2} = \frac{2x^3 - 32x - 2x^3}{(x^2-16)^2} = \frac{-32x}{(x^2-16)^2}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow -32x = 0 \Rightarrow x=0$.
Производная не существует при $x=\pm 4$, но эти точки не входят в область определения.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2-16)^2$ всегда положителен в области определения, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $-32x$.
- Если $x < 0$ (на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0)$), то $-32x > 0$, и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- Если $x > 0$ (на интервалах $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$), то $-32x < 0$, и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0]$.
Промежутки убывания: $[0; 4)$ и $(4; +\infty)$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
$x_{max} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0]$, убывает на промежутках $[0; 4)$ и $(4; +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 0$.

6) $f(x) = 2\sqrt{x} - x$.

1. Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
$D(f) = [0; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^{1/2} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = \frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.

3. Находим критические точки.
$f'(x) = 0 \Rightarrow 1-\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1$.
Производная не существует при $x=0$, которая является граничной точкой области определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знаменатель $\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$.
- На интервале $(0; 1)$: $0 < \sqrt{x} < 1$, поэтому $1-\sqrt{x} > 0$, и $f'(x) > 0$. Функция возрастает.
- На интервале $(1; +\infty)$: $\sqrt{x} > 1$, поэтому $1-\sqrt{x} < 0$, и $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Промежуток возрастания: $[0; 1]$.
Промежуток убывания: $[1; +\infty)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума: $x_{max} = 1$.
В точке $x=0$ (граничная точка) функция начинает возрастать, следовательно, это точка локального минимума (краевой минимум): $x_{min} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 1$.