Номер 42.12, страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.12. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10;$

2) $f(x) = \sin x - x.$

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10$

Чтобы доказать, что функция не имеет точек экстремума, нужно найти ее производную и исследовать ее знак. Точка является точкой экстремума, если в ней производная равна нулю или не существует, и при переходе через эту точку производная меняет знак.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 4 - 0 = x^2 - 4x + 4$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x - 2)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = 2$. Это единственная критическая точка функции.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = (x - 2)^2$ в окрестности точки $x = 2$.

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Производная равна нулю только в точке $x = 2$, а при всех остальных значениях $x$ она строго положительна.

При $x < 2$, $f'(x) = (x - 2)^2 > 0$.

При $x > 2$, $f'(x) = (x - 2)^2 > 0$.

Поскольку производная не меняет свой знак при переходе через критическую точку $x = 2$ (остаётся положительной), то в этой точке экстремума нет. Других критических точек у функции нет, следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как её производная $f'(x) = (x-2)^2$ неотрицательна при всех $x$ и не меняет знак при переходе через единственную критическую точку $x=2$.

2) $f(x) = \sin x - x$

Применим тот же метод: найдем производную и исследуем её знак.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Решениями этого уравнения являются точки $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел). Это критические точки функции.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$.

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$.

Следовательно, для производной $f'(x) = \cos x - 1$ справедливо неравенство:

$-1 - 1 \le \cos x - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le f'(x) \le 0$

Это означает, что производная функции всегда неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$. Производная обращается в ноль только в критических точках $x = 2\pi n$, а во всех остальных точках она строго отрицательна ($f'(x) < 0$).

Поскольку производная не меняет свой знак при переходе через критические точки (в их окрестности она остаётся отрицательной), то в этих точках экстремумов нет. Следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как её производная $f'(x) = \cos x - 1$ неположительна при всех $x$ и не меняет знак при переходе через критические точки.