Номер 42.6, страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.6. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 12x - x^3;$

2) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5;$

3) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7;$

4) $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}.$

1) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = 12x - x^3$ необходимо найти её производную, приравнять к нулю для нахождения критических точек и исследовать знак производной на интервалах.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$12 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- Для $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.
- Для $x \in (-2; 2)$, например $x = 0$: $f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- Для $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.
4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{\min} = -2$, $x_{\max} = 2$.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ повторяем тот же алгоритм.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.
2. Находим критические точки:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- Для $x < -2$ (например, $x=-3$): $f'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$ (убывает).
- Для $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$ (возрастает).
- Для $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $f'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$ (убывает).
- Для $x > 2$ (например, $x=3$): $f'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$ (возрастает).
4. В точках $x = -2$ и $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{\min} = \pm 2$, $x_{\max} = 0$.

3) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 7)' = 3x^2 - 12x - 15$.
2. Находим критические точки:
$3x^2 - 12x - 15 = 0$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
3. Графиком производной $f'(x) = 3(x+1)(x-5)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, производная положительна на $(-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$ и отрицательна на $(-1; 5)$.
- На $(-\infty; -1)$ и $(5; +\infty)$ функция возрастает.
- На $(-1; 5)$ функция убывает.
4. В точке $x = -1$ происходит смена возрастания на убывание (знак производной меняется с "+" на "-"), значит, это точка максимума. В точке $x = 5$ происходит смена убывания на возрастание (знак производной меняется с "-" на "+"), значит, это точка минимума.
Ответ: $x_{\max} = -1$, $x_{\min} = 5$.

4) Для функции $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^2 - \frac{x^4}{2})' = 2x - \frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x - 2x^3$.
2. Находим критические точки:
$2x - 2x^3 = 0$
$2x(1 - x^2) = 0$
$2x(1-x)(1+x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- Для $x < -1$ (например, $x=-2$): $f'(-2) = 2(-2) - 2(-2)^3 = -4 + 16 = 12 > 0$ (возрастает).
- Для $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $f'(-0.5) = 2(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -1(0.75) = -0.75 < 0$ (убывает).
- Для $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $f'(0.5) = 2(0.5)(1 - (0.5)^2) = 1(0.75) = 0.75 > 0$ (возрастает).
- Для $x > 1$ (например, $x=2$): $f'(2) = 2(2)(1 - 2^2) = 4(-3) = -12 < 0$ (убывает).
4. В точках $x = -1$ и $x = 1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{\min} = 0$, $x_{\max} = \pm 1$.