Номер 42.5, страница 328 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.5. На рисунке 42.21 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Верно ли равенство:

Рис. 42.21

1) $f'(-3) = 0;$

2) $f'(-2) = 0;$

3) $f'(0) = 0;$

4) $f'(1) = 0;$

5) $f'(2) = 0;$

6) $f'(3) = 0?$

Производная функции в точке, $f'(x_0)$, с геометрической точки зрения представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

Равенство $f'(x_0) = 0$ означает, что касательная к графику функции в точке $x_0$ параллельна оси абсцисс (горизонтальна). Такое условие выполняется в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), если функция в этих точках дифференцируема.

1) f'(-3) = 0;

В точке $x = -3$ на графике находится локальный минимум функции. В этой точке касательная к графику горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, равенство $f'(-3) = 0$ верно.
Ответ: Верно.

2) f'(-2) = 0;

В точке $x = -2$ на графике находится локальный максимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент равен нулю. Равенство $f'(-2) = 0$ верно.
Ответ: Верно.

3) f'(0) = 0;

В точке $x = 0$ функция убывает, график пересекает ось ординат под углом. Касательная к графику в этой точке имеет отрицательный наклон, то есть $f'(0) < 0$. Следовательно, равенство $f'(0) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

4) f'(1) = 0;

В точке $x = 1$ график функции имеет излом (острую вершину). В таких точках функция не является дифференцируемой, а значит, производная $f'(1)$ не существует. Следовательно, равенство $f'(1) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

5) f'(2) = 0;

В точке $x = 2$ функция возрастает. Касательная к графику в этой точке имеет положительный наклон, то есть $f'(2) > 0$. Следовательно, равенство $f'(2) = 0$ неверно.
Ответ: Неверно.

6) f'(3) = 0?

В точке $x = 3$ на графике находится локальный максимум функции. Касательная в этой точке горизонтальна, следовательно, её угловой коэффициент равен нулю. Равенство $f'(3) = 0$ верно.
Ответ: Верно.