Номер 42.10, страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.10. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7;$

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2;$

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3.$

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{3-1} + 0 = x^3 - 6x^2$.

2. Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $f'(x)$ — многочлен, она существует при всех $x$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 6x^2 = 0$

$x^2(x - 6) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: возьмём $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -1 - 6 = -7 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 6)$: возьмём $x = 1$. $f'(1) = 1^3 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(6; +\infty)$: возьмём $x = 7$. $f'(7) = 7^3 - 6(7)^2 = 7^2(7 - 6) = 49 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция убывает, если $f'(x) \le 0$. Это происходит на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0; 6]$. Объединяя их, получаем промежуток убывания $(-\infty; 6]$. Функция возрастает, если $f'(x) \ge 0$. Это происходит на промежутке $[6; +\infty)$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ знак производной не меняется (с минуса на минус), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума. В точке $x=6$ знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ является точкой минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 6]$, точка минимума $x_{min} = 6$.

2)

Дана функция $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2$.

1. Найдём производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x - 1)^3)'(x - 2)^2 + (x - 1)^3((x - 2)^2)'$

$f'(x) = 3(x - 1)^2 \cdot (x - 2)^2 + (x - 1)^3 \cdot 2(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)^2(x - 2)$ за скобки:

$f'(x) = (x - 1)^2(x - 2) [3(x - 2) + 2(x - 1)] = (x - 1)^2(x - 2) [3x - 6 + 2x - 2] = (x - 1)^2(x - 2)(5x - 8)$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$(x - 1)^2(x - 2)(5x - 8) = 0$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1,6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 1,6)$, $(1,6; 2)$ и $(2; +\infty)$. Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной определяется знаками выражений $(x - 2)$ и $(5x - 8)$.

• На интервале $(-\infty; 1)$: возьмём $x = 0$. $f'(0) = (-1)^2(-2)(-8) = 16 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1; 1,6)$: возьмём $x = 1,5$. $f'(1,5) = (0,5)^2(-0,5)(5 \cdot 1,5 - 8) = (0,25)(-0,5)(-0,5) > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1,6; 2)$: возьмём $x = 1,8$. $f'(1,8) = (0,8)^2(-0,2)(5 \cdot 1,8 - 8) = (0,64)(-0,2)(1) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$. $f'(3) = (2)^2(1)(15 - 8) = 28 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает на $(-\infty; 1,6]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на $[1,6; 2]$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=1$ знак производной не меняется, экстремума нет. В точке $x=1,6$ знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. $x_{max} = 1,6$. В точке $x=2$ знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума. $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1,6]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[1,6; 2]$, точка максимума $x_{max} = 1,6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3$.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3)' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 + \frac{4}{5} \cdot 5x^4 + 4x^3 + 0 = x^5 + 4x^4 + 4x^3$.

2. Найдём критические точки:

$x^5 + 4x^4 + 4x^3 = 0$

$x^3(x^2 + 4x + 4) = 0$

$x^3(x + 2)^2 = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$. Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной зависит от знака $x^3$.

• На интервале $(-\infty; -2)$: возьмём $x = -3$. $f'(-3) = (-3)^3(-3+2)^2 = -27 \cdot 1 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; 0)$: возьмём $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3(-1+2)^2 = -1 \cdot 1 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; +\infty)$: возьмём $x = 1$. $f'(1) = 1^3(1+2)^2 = 1 \cdot 9 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция убывает на $(-\infty; -2]$ и $[-2; 0]$. Объединяя, получаем промежуток убывания $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=-2$ знак производной не меняется, экстремума нет. В точке $x=0$ знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.