Номер 42.15, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.15. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2}$;

2) $f(x) = x + \frac{9}{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 3}$;

4) $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$;

5) $f(x) = \frac{1}{16 - x^2}$;

6) $f(x) = 2x - \sqrt{x}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x+2}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; \infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 6x)'(x+2) - (x^2 - 6x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{(2x - 6)(x+2) - (x^2 - 6x) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 6x - 12 - x^2 + 6x}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 12}{(x+2)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. Это возможно, когда числитель равен нулю: $x^2 + 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается точками $x=-6, x=-2, x=2$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x^2 + 4x - 12$ (так как знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен).

• На интервалах $(-\infty; -6)$ и $(2; \infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• На интервалах $(-6; -2)$ и $(-2; 2)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

5. В точке $x=-6$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума ($x_{max} = -6$). В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума ($x_{min} = 2$).

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[2; \infty)$, убывает на промежутках $[-6; -2)$ и $(-2; 2]$. Точка максимума $x_{max} = -6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

2) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = (x)' + (\frac{9}{x})' = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x)=0$: $\frac{x^2 - 9}{x^2} = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; \infty)$. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x^2 - 9$.

• На интервалах $(-\infty; -3)$ и $(3; \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• На интервалах $(-3; 0)$ и $(0; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «−» (точка максимума, $x_{max} = -3$). В точке $x=3$ производная меняет знак с «−» на «+» (точка минимума, $x_{min} = 3$).

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[3; \infty)$, убывает на промежутках $[-3; 0)$ и $(0; 3]$. Точка максимума $x_{max} = -3$, точка минимума $x_{min} = 3$.

3) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 3}$

1. Область определения: знаменатель $x^2 + 3$ всегда положителен, поэтому $D(f) = (-\infty; \infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2+3) - x^2(x^2+3)'}{(x^2+3)^2} = \frac{2x(x^2+3) - x^2(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^3 + 6x - 2x^3}{(x^2+3)^2} = \frac{6x}{(x^2+3)^2}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x) = 0 \implies 6x = 0 \implies x=0$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(x^2+3)^2$ всегда положителен, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $6x$.

• При $x < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума ($x_{min} = 0$).

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, возрастает на промежутке $[0; \infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$.

4) $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$

1. Область определения: $(x+1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2. Найдём производную, представив функцию как $f(x) = (x+1)^{-2}$: $f'(x) = -2(x+1)^{-3} \cdot (x+1)' = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}$.

3. Критические точки: производная нигде не равна нулю, так как числитель $-2 \neq 0$.

4. Исследуем знак производной. Знак $f'(x)$ зависит от знака знаменателя $(x+1)^3$.

• При $x < -1$, $(x+1)^3 < 0$, поэтому $f'(x) = \frac{-2}{\text{отриц.}} > 0$, функция возрастает.
• При $x > -1$, $(x+1)^3 > 0$, поэтому $f'(x) = \frac{-2}{\text{полож.}} < 0$, функция убывает.

5. Так как нет критических точек, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -1)$, убывает на промежутке $(-1; \infty)$. Точек экстремума нет.

5) $f(x) = \frac{1}{16 - x^2}$

1. Область определения: $16 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 16 \implies x \neq \pm 4$. $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 4) \cup (4; \infty)$.

2. Найдём производную: $f(x) = (16 - x^2)^{-1}$, $f'(x) = -1(16-x^2)^{-2} \cdot (-2x) = \frac{2x}{(16-x^2)^2}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x) = 0 \implies 2x = 0 \implies x=0$.

4. Исследуем знак производной. Знаменатель $(16-x^2)^2$ всегда положителен (в области определения), поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $2x$.

• При $x < 0$ (на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0)$), $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x > 0$ (на интервалах $(0; 4)$ и $(4; \infty)$), $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума ($x_{min} = 0$).

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -4)$ и $(-4; 0]$, возрастает на промежутках $[0; 4)$ и $(4; \infty)$. Точка минимума $x_{min} = 0$.

6) $f(x) = 2x - \sqrt{x}$

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. $D(f) = [0; \infty)$.

2. Найдём производную: $f'(x) = 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдём критические точки: $f'(x) = 0 \implies 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \implies 2 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \implies 4\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{4} \implies x = \frac{1}{16}$. Производная не определена в точке $x=0$, которая является концом области определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0; 1/16)$ и $(1/16; \infty)$.

• На интервале $(0; 1/16)$, $f'(x) < 0$ (например, при $x=1/25$, $f'(x) = 2-5/2=-0.5$), функция убывает.
• На интервале $(1/16; \infty)$, $f'(x) > 0$ (например, при $x=1$, $f'(x) = 2-1/2=1.5$), функция возрастает.

5. В точке $x=1/16$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума ($x_{min} = 1/16$). В точке $x=0$ (граница области определения) функция начинает убывать, поэтому это точка локального максимума ($x_{max} = 0$).

Ответ: функция убывает на промежутке $[0; 1/16]$, возрастает на промежутке $[1/16; \infty)$. Точка максимума $x_{max} = 0$, точка минимума $x_{min} = 1/16$.