Номер 42.17, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.17. Верно ли утверждение:

1) в точке экстремума производная функции равна нулю;

2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то эта точка является точкой экстремума функции?

1) в точке экстремума производная функции равна нулю;

Данное утверждение неверно. Согласно необходимому условию экстремума (теореме Ферма), если функция $f(x)$ дифференцируема в точке экстремума $x_0$, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть $f'(x_0) = 0$. Однако ключевым условием здесь является дифференцируемость функции. Экстремум может существовать и в точке, где функция не является дифференцируемой (ее производная не существует).

Рассмотрим контрпример: функция модуль $f(x) = |x|$. Эта функция имеет точку минимума при $x=0$, поскольку $f(0)=0$ и для любого другого значения $x$ выполняется неравенство $f(x) > 0$. Следовательно, $x=0$ — точка экстремума (минимума).

Однако производная функции $f(x) = |x|$ в точке $x=0$ не существует. Для $x > 0$ производная равна $f'(x) = 1$. Для $x < 0$ производная равна $f'(x) = -1$. Поскольку правосторонняя и левосторонняя производные в точке $x=0$ не совпадают, функция не является дифференцируемой в этой точке. Таким образом, существует точка экстремума ($x=0$), в которой производная не равна нулю (поскольку она просто не существует).

Ответ: утверждение неверно.

2) если функция в некоторой точке недифференцируема, то эта точка является точкой экстремума функции?

Данное утверждение неверно. Точка, в которой функция непрерывна, но недифференцируема, является так называемой критической точкой. Экстремум может быть только в критической точке, но не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Рассмотрим контрпример: функция кубический корень $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Найдем ее производную: $f'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. В точке $x=0$ знаменатель дроби обращается в ноль, значит производная в этой точке не существует. Следовательно, функция недифференцируема в точке $x=0$.

Однако проверим, является ли $x=0$ точкой экстремума. Значение функции в этой точке $f(0) = 0$. Сравним его со значениями в окрестности точки $x=0$:

• При $x > 0$, $f(x) = \sqrt[3]{x} > 0$, то есть $f(x) > f(0)$.
• При $x < 0$, $f(x) = \sqrt[3]{x} < 0$, то есть $f(x) < f(0)$.

Поскольку в любой окрестности точки $x=0$ есть значения функции как большие, так и меньшие, чем $f(0)$, эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Это точка перегиба с вертикальной касательной.

Ответ: утверждение неверно.