Номер 42.24, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.24. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

3) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$.

1) $f(x) = x^2\sqrt{1-x}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0$, откуда $x \le 1$. Область определения $D(f) = (-\infty, 1]$.

Теперь найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{1-x} + x^2(\sqrt{1-x})' = 2x\sqrt{1-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{1-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{1-x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1-x} \cdot 2\sqrt{1-x} - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x(1-x) - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{4x - 5x^2}{2\sqrt{1-x}} = \frac{x(4 - 5x)}{2\sqrt{1-x}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и найдя точки, где она не существует.
$f'(x) = 0$ при $x(4 - 5x) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4/5$. Обе точки принадлежат области определения.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{1-x} = 0$, то есть при $x = 1$. Эта точка также является критической и является концом области определения.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4/5)$ и $(4/5, 1)$. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(4 - 5x)$, так как знаменатель $2\sqrt{1-x}$ положителен при $x < 1$.
- При $x \in (-\infty, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0, 4/5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (4/5, 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$. Точка $x=0$ является точкой минимума. Точка $x=4/5$ является точкой максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 4/5]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[4/5, 1]$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 4/5$.

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Знаменатель не должен быть равен нулю, $x+1 \ne 0$, что всегда верно для $x \ge 0$. Область определения $D(f) = [0, \infty)$.

Найдем производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x+1) - \sqrt{x}(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упростим числитель выражения для производной:
$\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x}}{1} = \frac{x+1 - 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.
Тогда производная равна:
$f'(x) = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Найдем критические точки.
$f'(x) = 0$ при $1 - x = 0$, то есть $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения.
Производная не существует при $x = 0$. Эта точка является началом области определения и также является критической.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, \infty)$. Знаменатель $2\sqrt{x}(x+1)^2$ положителен при $x > 0$, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $1-x$.
- При $x \in (0, 1)$: $1-x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (1, \infty)$: $1-x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$. Точка $x=0$ является точкой минимума (как начало интервала возрастания). Точка $x=1$ является точкой максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$, убывает на промежутке $[1, \infty)$; точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 1$.

3) $f(x) = \frac{2x-7}{\sqrt{3-x}}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$. Область определения $D(f) = (-\infty, 3)$.

Найдем производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x-7)'\sqrt{3-x} - (2x-7)(\sqrt{3-x})'}{(\sqrt{3-x})^2} = \frac{2\sqrt{3-x} - (2x-7) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}}}{3-x}$.

Приведем числитель к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{\frac{2\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} + (2x-7)}{2\sqrt{3-x}}}{3-x} = \frac{4(3-x) + 2x - 7}{2(3-x)\sqrt{3-x}} = \frac{12 - 4x + 2x - 7}{2(3-x)^{3/2}} = \frac{5 - 2x}{2(3-x)^{3/2}}$.

Найдем критические точки. $f'(x) = 0$ при $5 - 2x = 0$, то есть $x = 5/2 = 2.5$. Эта точка принадлежит области определения.
Производная не существует при $x = 3$, но эта точка не входит в область определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 2.5)$ и $(2.5, 3)$. Знаменатель $2(3-x)^{3/2}$ положителен в области определения, поэтому знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $5-2x$.
- При $x \in (-\infty, 2.5)$: $5-2x > 0$, значит $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (2.5, 3)$: $5-2x < 0$, значит $f'(x) < 0$, функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$ и убывает на промежутке $[2.5, 3)$. Точка $x=2.5$ является точкой максимума. Точек минимума нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2.5]$, убывает на промежутке $[2.5, 3)$; точка максимума $x_{max} = 2.5$.