Номер 42.29, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.29. При каких значениях параметра $a$ функция $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2 + 2a)x - 17$ имеет положительную точку минимума?

Для того чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция имеет положительную точку минимума, необходимо выполнить следующие шаги: найти производную функции, определить ее критические точки, выяснить, какая из них является точкой минимума, и проверить, при каких значениях $a$ эта точка будет положительной.

1. Нахождение производной и критических точек

Исходная функция: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2+2a)x - 17$.

Найдем ее первую производную по $x$:

$y' = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3a+1}{2}x^2 + (2a^2+2a)x - 17\right) = x^2 - (3a+1)x + 2a^2+2a$.

Критические точки функции — это корни уравнения $y' = 0$:

$x^2 - (3a+1)x + 2a^2+2a = 0$.

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = (-(3a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2+2a) = (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 8a) = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Поскольку $D = (a-1)^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их:

$x = \frac{3a+1 \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{3a+1 \pm (a-1)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{3a+1 + (a-1)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

$x_2 = \frac{3a+1 - (a-1)}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

Критические точки функции: $x=2a$ и $x=a+1$.

2. Определение точки минимума

Для существования точки минимума необходимо, чтобы функция имела две различные критические точки, то есть $x_1 \neq x_2$, что означает $2a \neq a+1 \implies a \neq 1$. При $a=1$ производная $y'=(x-2)^2 \ge 0$, и функция не имеет экстремумов.

Производная $y' = (x-2a)(x-(a+1))$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Знак производной меняется с плюса на минус в меньшем корне (точка максимума) и с минуса на плюс в большем корне (точка минимума). Следовательно, точкой минимума является больший из двух корней.

Сравним корни: если $a > 1$, то $2a > a+1$, и точка минимума $x_{min} = 2a$. Если $a < 1$, то $2a < a+1$, и точка минимума $x_{min} = a+1$.

3. Проверка условия положительности точки минимума

Согласно условию задачи, точка минимума должна быть положительной ($x_{min} > 0$).

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a > 1$.
Точка минимума $x_{min} = 2a$. Условие $x_{min} > 0$ принимает вид $2a > 0$, то есть $a > 0$.
Пересекая условия $a > 1$ и $a > 0$, получаем $a > 1$.

Случай 2: $a < 1$.
Точка минимума $x_{min} = a+1$. Условие $x_{min} > 0$ принимает вид $a+1 > 0$, то есть $a > -1$.
Пересекая условия $a < 1$ и $a > -1$, получаем $-1 < a < 1$.

4. Итоговый результат

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, и учитывая, что $a \neq 1$, получаем искомый диапазон значений для параметра $a$.

Ответ: $a \in (-1, 1) \cup (1, \infty)$.