Номер 42.25, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.25. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2 \sqrt{x+2};$

2) $f(x) = (x-2)^2 \sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}.$

1) $f(x) = x^2\sqrt{x+2}$

1. Найдём область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Область определения: $D(f) = [-2; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'\sqrt{x+2} + x^2(\sqrt{x+2})' = 2x\sqrt{x+2} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2} + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x(x+2) + x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{4x^2+8x+x^2}{2\sqrt{x+2}} = \frac{5x^2+8x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}}$

3. Найдём критические точки.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{x(5x+8)}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies x(5x+8) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = -8/5 = -1.6$. Обе точки принадлежат области определения.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{x+2} = 0 \implies x = -2$. Эта точка является концом области определения.

Критические точки: $-2$, $-1.6$, $0$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $[-2; +\infty)$ на интервалы критическими точками: $[-2, -1.6]$, $[-1.6, 0]$, $[0, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(5x+8)$, так как знаменатель $2\sqrt{x+2}$ положителен при $x > -2$.

• При $x \in (-2; -1.6)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1.6; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежутки возрастания: $[-2; -1.6]$ и $[0; +\infty)$.

Промежуток убывания: $[-1.6; 0]$.

В точке $x = -1.6$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Точка $x = -2$ является концом промежутка, на котором функция возрастает, поэтому это точка локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2; -1.6]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1.6; 0]$. Точка максимума $x_{max} = -1.6$, точки минимума $x_{min} = -2$ и $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = (x-2)^2\sqrt{x}$

1. Найдём область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x-2)^2)'\sqrt{x} + (x-2)^2(\sqrt{x})' = 2(x-2)\sqrt{x} + (x-2)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приведём к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(x-2)\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + (x-2)^2}{2\sqrt{x}} = \frac{4x(x-2) + (x-2)^2}{2\sqrt{x}}$

Вынесем общий множитель $(x-2)$:

$f'(x) = \frac{(x-2)(4x + x-2)}{2\sqrt{x}} = \frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}}$

3. Найдём критические точки.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{(x-2)(5x-2)}{2\sqrt{x}} = 0 \implies (x-2)(5x-2) = 0$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 2/5 = 0.4$. Обе точки принадлежат области определения.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Эта точка является концом области определения.

Критические точки: $0$, $0.4$, $2$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $[0; +\infty)$ на интервалы: $[0, 0.4]$, $[0.4, 2]$, $[2, +\infty)$.

Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $(x-2)(5x-2)$, так как знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен при $x > 0$.

• При $x \in (0; 0.4)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0.4; 2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежутки возрастания: $[0; 0.4]$ и $[2; +\infty)$.

Промежуток убывания: $[0.4; 2]$.

В точке $x = 0.4$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Точка $x = 0$ является концом промежутка, на котором функция возрастает, поэтому это точка локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 0.4]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[0.4; 2]$. Точка максимума $x_{max} = 0.4$, точки минимума $x_{min} = 0$ и $x_{min} = 2$.

3) $f(x) = \frac{3x+1}{\sqrt{x-1}}$

1. Найдём область определения функции.

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.

Область определения: $D(f) = (1; +\infty)$.

2. Найдём производную функции.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(3x+1)'\sqrt{x-1} - (3x+1)(\sqrt{x-1})'}{(\sqrt{x-1})^2} = \frac{3\sqrt{x-1} - (3x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}$

Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x-1}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x-1} \cdot 2\sqrt{x-1} - (3x+1)}{2(x-1)\sqrt{x-1}} = \frac{6(x-1) - (3x+1)}{2(x-1)^{3/2}}$

$f'(x) = \frac{6x-6-3x-1}{2(x-1)^{3/2}} = \frac{3x-7}{2(x-1)^{3/2}}$

3. Найдём критические точки.

а) $f'(x) = 0$:

$\frac{3x-7}{2(x-1)^{3/2}} = 0 \implies 3x-7 = 0 \implies x = 7/3$.

Точка $x=7/3$ принадлежит области определения, так как $7/3 > 1$.

б) $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю, т.е. при $x=1$. Но эта точка не входит в область определения.

Единственная критическая точка: $x = 7/3$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Разобьём область определения $(1; +\infty)$ на интервалы: $(1; 7/3)$ и $(7/3; +\infty)$.

Знаменатель $2(x-1)^{3/2}$ всегда положителен в области определения. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $3x-7$.

• При $x \in (1; 7/3)$: $3x-7 < 0$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (7/3; +\infty)$: $3x-7 > 0$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Определим промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.

Промежуток убывания: $(1; 7/3]$.

Промежуток возрастания: $[7/3; +\infty)$.

В точке $x = 7/3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(1; 7/3]$ и возрастает на промежутке $[7/3; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = 7/3$.