Номер 42.21, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.21. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2};$

2) $f(x) = \sin 2x - x\sqrt{2}.$

1) $f(x) = \cos x + \frac{x}{2}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо исследовать ее производную.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x + \frac{x}{2})' = -\sin x + \frac{1}{2}$

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies -\sin x + \frac{1}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются две серии точек:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Производная определена на всей числовой прямой, поэтому других критических точек нет.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = \frac{1}{2} - \sin x$ на интервалах, на которые числовую прямую разбивают критические точки.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:

$\frac{1}{2} - \sin x > 0 \implies \sin x < \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:

$\frac{1}{2} - \sin x < 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$

Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Определяем точки экстремума. В критических точках производная меняет знак.

В точках вида $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ знак производной меняется с `+` на `-`. Следовательно, это точки максимума.

В точках вида $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ знак производной меняется с `-` на `+`. Следовательно, это точки минимума.

Так как функция непрерывна, концы интервалов можно включать в промежутки возрастания и убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = \sin 2x - x\sqrt{2}$

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin 2x - x\sqrt{2})' = (\cos 2x) \cdot 2 - \sqrt{2} = 2\cos 2x - \sqrt{2}$

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 2\cos 2x - \sqrt{2} = 0 \implies \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение для аргумента $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Отсюда находим $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Это две серии критических точек: $x = \frac{\pi}{8} + \pi n$ и $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$. Производная определена везде, других критических точек нет.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = 2\cos 2x - \sqrt{2}$.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:

$2\cos 2x - \sqrt{2} > 0 \implies \cos 2x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, то есть $-\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:

$2\cos 2x - \sqrt{2} < 0 \implies \cos 2x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 2x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$, то есть $\frac{\pi}{8} + \pi n < x < \frac{7\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Определяем точки экстремума.

В точках вида $x = \frac{\pi}{8} + \pi n$ знак производной меняется с `+` на `-`. Следовательно, это точки максимума.

В точках вида $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n$ знак производной меняется с `-` на `+`. Следовательно, это точки минимума.

Так как функция непрерывна, концы интервалов можно включать в промежутки возрастания и убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{\pi}{8} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{8} + \pi n, \frac{7\pi}{8} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{8} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.