gdz.top
Номер 42.18, страница 330 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 42. Точки экстремума функции - номер 42.18, страница 330.
№42.17
№42.18 (с. 330)
Условие. №42.18 (с. 330)
42.18. Верно ли утверждение: если $\max_M f(x) = f(x_0)$, $x_0 \in M$, и функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $f'(x_0) = 0$?
Решение. №42.18 (с. 330)
Утверждение неверно.
Теорема Ферма утверждает, что если функция $f$ имеет в точке $x_0$ локальный экстремум (максимум или минимум) и $x_0$ является внутренней точкой области определения $M$, то при условии, что функция $f$ дифференцируема в этой точке, ее производная обращается в ноль: $f'(x_0) = 0$.
Ключевым моментом здесь является то, что точка $x_0$ должна быть внутренней. В условии задачи это не оговаривается. Если точка максимума $x_0$ является граничной точкой множества $M$, то производная в этой точке не обязана быть равной нулю.
Приведем контрпример, чтобы это продемонстрировать.
Рассмотрим функцию $f(x) = x$ на множестве $M = [0, 1]$.
Проверим выполнение условий из утверждения:
- Максимум функции $f(x)$ на множестве $M$ равен $\max_{x \in [0, 1]} x = 1$.
- Этот максимум достигается в точке $x_0 = 1$.
- Точка $x_0 = 1$ принадлежит множеству $M$, поскольку $1 \in [0, 1]$.
- Функция $f(x) = x$ является дифференцируемой на всей числовой прямой, а значит, и в точке $x_0 = 1$.
Таким образом, все условия из посылки утверждения выполнены. Теперь проверим заключение.
Найдем производную функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$: $f'(x) = (x)' = 1$. Следовательно, $f'(x_0) = f'(1) = 1$.
Мы получили, что $f'(x_0) = 1 \neq 0$. Это противоречит заключению утверждения ($f'(x_0) = 0$). Следовательно, исходное утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 42.18 расположенного на странице 330 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42.18 (с. 330), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.