Номер 42.11, страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.11. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9;$

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3.$

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9)' = 3 \cdot 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 12x^3 - 24x^2 + 12x$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$ (точки, в которых производная равна нулю или не существует). Так как производная является многочленом, она существует при всех $x$.

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом:

$12x(x - 1)^2 = 0$

Корни уравнения (критические точки): $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, выберем точку $x=-1$. $f'(-1) = 12(-1)(-1-1)^2 = -12 \cdot 4 = -48 < 0$. Следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
• На интервале $(0; 1)$, выберем точку $x=0.5$. $f'(0.5) = 12(0.5)(0.5-1)^2 = 6 \cdot (-0.5)^2 = 1.5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0; 1]$.
• На интервале $(1; +\infty)$, выберем точку $x=2$. $f'(2) = 12(2)(2-1)^2 = 24 \cdot 1^2 = 24 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=0$ — точка минимума.

В точке $x=1$ производная не меняет знак (остается положительной), следовательно, $x=1$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = ((x+4)^4)'(x-3)^3 + (x+4)^4((x-3)^3)'$

$f'(x) = 4(x+4)^3 \cdot 1 \cdot (x-3)^3 + (x+4)^4 \cdot 3(x-3)^2 \cdot 1$

$f'(x) = 4(x+4)^3(x-3)^3 + 3(x+4)^4(x-3)^2$

3. Упростим выражение для производной, вынеся общий множитель $(x+4)^3(x-3)^2$ за скобки:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2 [4(x-3) + 3(x+4)] = (x+4)^3(x-3)^2 (4x - 12 + 3x + 12) = (x+4)^3(x-3)^2(7x)$

$f'(x) = 7x(x+4)^3(x-3)^2$

Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$7x(x+4)^3(x-3)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Заметим, что множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак производной (кроме точки $x=3$, где он равен нулю).

• На интервале $(-\infty; -4)$, выберем $x=-5$. $f'(-5) = 7(-5)(-5+4)^3(-5-3)^2 = (-)(-)^3(+) = (-)(-)(+) > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -4]$.
• На интервале $(-4; 0)$, выберем $x=-1$. $f'(-1) = 7(-1)(-1+4)^3(-1-3)^2 = (-)(+)^3(+) < 0$. Функция убывает на $[-4; 0]$.
• На интервале $(0; 3)$, выберем $x=1$. $f'(1) = 7(1)(1+4)^3(1-3)^2 = (+)(+)^3(+) > 0$. Функция возрастает на $[0; 3]$.
• На интервале $(3; +\infty)$, выберем $x=4$. $f'(4) = 7(4)(4+4)^3(4-3)^2 = (+)(+)^3(+) > 0$. Функция возрастает на $[3; +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -4]$ и на $[0; +\infty)$.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, $x=-4$ — точка максимума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=0$ — точка минимума.

В точке $x=3$ производная не меняет знак, следовательно, $x=3$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-4; 0]$, точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 0$.