Номер 42.7, страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.7. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4;$

3) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2;$

4) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4.$

1)

Дана функция $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, и определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 4 - x^2$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -2)$, например, при $x = -3$, $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; 2)$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$, $f'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$. Функция убывает.

При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

При переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4)' = \frac{3x^2}{3} + 6x - 7 = x^2 + 6x - 7$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 + 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = (x+7)(x-1)$ на интервалах $(-\infty; -7)$, $(-7; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -7)$, например, при $x = -8$, $f'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-7; 1)$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 0^2 + 6(0) - 7 = -7 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = 2^2 + 6(2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0$. Функция возрастает.

При переходе через точку $x = -7$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -7$, $x_{min} = 1$.

3)

Дана функция $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^4 - 4x^3 + 2)' = 8x^3 - 12x^2$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$8x^3 - 12x^2 = 0$

$4x^2(2x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 4x^2(2x - 3)$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, $f'(-1) = 8(-1)^3 - 12(-1)^2 = -8 - 12 = -20 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 1.5)$, например, при $x = 1$, $f'(1) = 8(1)^3 - 12(1)^2 = 8 - 12 = -4 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1.5; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = 8(2)^3 - 12(2)^2 = 64 - 48 = 16 > 0$. Функция возрастает.

При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет знак, следовательно, это не точка экстремума.

При переходе через точку $x = 1.5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

Точек максимума у функции нет.

Ответ: $x_{min} = 1.5$, точек максимума нет.

4)

Дана функция $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4)' = 2x + 6x^2 - 8x^3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$-8x^3 + 6x^2 + 2x = 0$

$-2x(4x^2 - 3x - 1) = 0$

Одна критическая точка $x_1 = 0$. Другие найдем из квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$x_2 = \frac{3+5}{8} = 1$, $x_3 = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -0.25$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -0.25$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = -8x^3 + 6x^2 + 2x$ на интервалах $(-\infty; -0.25)$, $(-0.25; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -0.25)$, например, при $x = -1$, $f'(-1) = -8(-1) + 6(1) + 2(-1) = 8 + 6 - 2 = 12 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-0.25; 0)$, например, при $x = -0.1$, $f'(-0.1) = -8(-0.001) + 6(0.01) + 2(-0.1) = 0.008 + 0.06 - 0.2 = -0.132 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 1)$, например, при $x = 0.5$, $f'(0.5) = -8(0.125) + 6(0.25) + 2(0.5) = -1 + 1.5 + 1 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = -8(8) + 6(4) + 2(2) = -64 + 24 + 4 = -36 < 0$. Функция убывает.

При переходе через точку $x = -0.25$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{max} = -0.25$, $x_{max} = 1$; $x_{min} = 0$.