Страница 329 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.6. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 12x - x^3;$

2) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5;$

3) $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7;$

4) $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}.$

1) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = 12x - x^3$ необходимо найти её производную, приравнять к нулю для нахождения критических точек и исследовать знак производной на интервалах.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.
2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$12 - 3x^2 = 0$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- Для $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.
- Для $x \in (-2; 2)$, например $x = 0$: $f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$. Функция возрастает.
- Для $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.
4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{\min} = -2$, $x_{\max} = 2$.

2) Для функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 5$ повторяем тот же алгоритм.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 5)' = 4x^3 - 16x$.
2. Находим критические точки:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
- Для $x < -2$ (например, $x=-3$): $f'(-3) = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 < 0$ (убывает).
- Для $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 > 0$ (возрастает).
- Для $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $f'(1) = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 < 0$ (убывает).
- Для $x > 2$ (например, $x=3$): $f'(3) = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 > 0$ (возрастает).
4. В точках $x = -2$ и $x = 2$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка максимума.
Ответ: $x_{\min} = \pm 2$, $x_{\max} = 0$.

3) Для функции $f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7$.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2 - 15x + 7)' = 3x^2 - 12x - 15$.
2. Находим критические точки:
$3x^2 - 12x - 15 = 0$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
3. Графиком производной $f'(x) = 3(x+1)(x-5)$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, производная положительна на $(-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$ и отрицательна на $(-1; 5)$.
- На $(-\infty; -1)$ и $(5; +\infty)$ функция возрастает.
- На $(-1; 5)$ функция убывает.
4. В точке $x = -1$ происходит смена возрастания на убывание (знак производной меняется с "+" на "-"), значит, это точка максимума. В точке $x = 5$ происходит смена убывания на возрастание (знак производной меняется с "-" на "+"), значит, это точка минимума.
Ответ: $x_{\max} = -1$, $x_{\min} = 5$.

4) Для функции $f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2}$.
1. Находим производную:
$f'(x) = (x^2 - \frac{x^4}{2})' = 2x - \frac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x - 2x^3$.
2. Находим критические точки:
$2x - 2x^3 = 0$
$2x(1 - x^2) = 0$
$2x(1-x)(1+x) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
3. Определяем знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.
- Для $x < -1$ (например, $x=-2$): $f'(-2) = 2(-2) - 2(-2)^3 = -4 + 16 = 12 > 0$ (возрастает).
- Для $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $f'(-0.5) = 2(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -1(0.75) = -0.75 < 0$ (убывает).
- Для $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $f'(0.5) = 2(0.5)(1 - (0.5)^2) = 1(0.75) = 0.75 > 0$ (возрастает).
- Для $x > 1$ (например, $x=2$): $f'(2) = 2(2)(1 - 2^2) = 4(-3) = -12 < 0$ (убывает).
4. В точках $x = -1$ и $x = 1$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.
Ответ: $x_{\min} = 0$, $x_{\max} = \pm 1$.

42.7. Найдите точки минимума и максимума функции:

1) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4;$

3) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2;$

4) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4.$

1)

Дана функция $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$.

Для нахождения точек минимума и максимума функции, найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, и определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (4x - \frac{1}{3}x^3)' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$4 - x^2 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 4 - x^2$ на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -2)$, например, при $x = -3$, $f'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; 2)$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x = 3$, $f'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$. Функция убывает.

При переходе через точку $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

При переходе через точку $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 2$.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4)' = \frac{3x^2}{3} + 6x - 7 = x^2 + 6x - 7$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 + 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = (x+7)(x-1)$ на интервалах $(-\infty; -7)$, $(-7; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -7)$, например, при $x = -8$, $f'(-8) = (-8)^2 + 6(-8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-7; 1)$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 0^2 + 6(0) - 7 = -7 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = 2^2 + 6(2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 > 0$. Функция возрастает.

При переходе через точку $x = -7$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -7$, $x_{min} = 1$.

3)

Дана функция $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2x^4 - 4x^3 + 2)' = 8x^3 - 12x^2$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$8x^3 - 12x^2 = 0$

$4x^2(2x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 4x^2(2x - 3)$ на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, $f'(-1) = 8(-1)^3 - 12(-1)^2 = -8 - 12 = -20 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 1.5)$, например, при $x = 1$, $f'(1) = 8(1)^3 - 12(1)^2 = 8 - 12 = -4 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(1.5; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = 8(2)^3 - 12(2)^2 = 64 - 48 = 16 > 0$. Функция возрастает.

При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет знак, следовательно, это не точка экстремума.

При переходе через точку $x = 1.5$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

Точек максимума у функции нет.

Ответ: $x_{min} = 1.5$, точек максимума нет.

4)

Дана функция $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4)' = 2x + 6x^2 - 8x^3$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:

$-8x^3 + 6x^2 + 2x = 0$

$-2x(4x^2 - 3x - 1) = 0$

Одна критическая точка $x_1 = 0$. Другие найдем из квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$x_2 = \frac{3+5}{8} = 1$, $x_3 = \frac{3-5}{8} = -\frac{2}{8} = -0.25$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -0.25$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = -8x^3 + 6x^2 + 2x$ на интервалах $(-\infty; -0.25)$, $(-0.25; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; -0.25)$, например, при $x = -1$, $f'(-1) = -8(-1) + 6(1) + 2(-1) = 8 + 6 - 2 = 12 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(-0.25; 0)$, например, при $x = -0.1$, $f'(-0.1) = -8(-0.001) + 6(0.01) + 2(-0.1) = 0.008 + 0.06 - 0.2 = -0.132 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 1)$, например, при $x = 0.5$, $f'(0.5) = -8(0.125) + 6(0.25) + 2(0.5) = -1 + 1.5 + 1 = 1.5 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1; +\infty)$, например, при $x = 2$, $f'(2) = -8(8) + 6(4) + 2(2) = -64 + 24 + 4 = -36 < 0$. Функция убывает.

При переходе через точку $x = -0.25$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

При переходе через точку $x = 0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{max} = -0.25$, $x_{max} = 1$; $x_{min} = 0$.

42.8. Функция $y = f(x)$ дифференцируема на множестве действительных чисел. На рисунке 42.22 изображён график её производной. Укажите точки максимума и минимума функции $y = f(x)$.

Рис. 42.22

Для нахождения точек максимума и минимума функции $y=f(x)$ необходимо исследовать её производную $y=f'(x)$, график которой приведён на рисунке. Точки экстремума функции соответствуют тем значениям аргумента $x$, в которых производная равна нулю и меняет свой знак.

На графике производной $f'(x)$ это точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$). Видно, что производная обращается в ноль в точках $x = -3$, $x = 1$ и $x = 5$. Это стационарные (критические) точки функции $f(x)$.

Точки максимума

Точка максимума — это точка, при переходе через которую производная $f'(x)$ меняет знак с положительного на отрицательный. Это означает, что функция $f(x)$ меняет характер монотонности с возрастания ($f'(x)>0$) на убывание ($f'(x)<0$).
Из графика видно, что в точке $x = 1$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» (график расположен выше оси $Ox$) на «–» (график расположен ниже оси $Ox$). Следовательно, $x = 1$ является точкой максимума функции $f(x)$.

Ответ: точка максимума: $x = 1$.

Точки минимума

Точка минимума — это точка, при переходе через которую производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный. Это означает, что функция $f(x)$ меняет характер монотонности с убывания ($f'(x)<0$) на возрастание ($f'(x)>0$).
Из графика видно, что:
- в точке $x = -3$ производная $f'(x)$ меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = -3$ является точкой минимума.
- в точке $x = 5$ производная $f'(x)$ также меняет знак с «–» на «+». Следовательно, $x = 5$ также является точкой минимума.

Ответ: точки минимума: $x = -3$, $x = 5$.

42.9. Функция $y = f(x)$ определена на множестве действительных чисел и имеет производную в каждой точке области определения. На рисунке 42.23 изображён график функции $y = f'(x)$. Сколько точек экстремума имеет функция $y = f(x)$?

Рис. 42.23

Точки экстремума функции $y = f(x)$ соответствуют значениям $x$, в которых производная функции $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак. По условию, на рисунке изображен график производной $y = f'(x)$.

Чтобы найти количество точек экстремума функции $f(x)$, необходимо определить, в скольких точках ее производная $f'(x)$ пересекает ось абсцисс ($Ox$), меняя при этом свой знак.

Анализируя представленный график $y = f'(x)$, мы видим, что он пересекает ось $Ox$ в двух точках:

1. В первой (левой) точке пересечения значение производной $f'(x)$ меняется с положительного (график выше оси $Ox$) на отрицательное (график ниже оси $Ox$). Это означает, что в этой точке функция $f(x)$ имеет точку максимума.
2. Во второй (правой) точке пересечения значение производной $f'(x)$ меняется с отрицательного (график ниже оси $Ox$) на положительное (график выше оси $Ox$). Это означает, что в этой точке функция $f(x)$ имеет точку минимума.

Поскольку производная меняет знак в двух точках, где она равна нулю, функция $y = f(x)$ имеет ровно две точки экстремума.

Ответ: 2

42.10. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7;$

2) $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2;$

3) $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3.$

1)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - 2 \cdot 3x^{3-1} + 0 = x^3 - 6x^2$.

2. Найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как $f'(x)$ — многочлен, она существует при всех $x$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow x^3 - 6x^2 = 0$

$x^2(x - 6) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$: возьмём $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 = -1 - 6 = -7 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; 6)$: возьмём $x = 1$. $f'(1) = 1^3 - 6(1)^2 = 1 - 6 = -5 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(6; +\infty)$: возьмём $x = 7$. $f'(7) = 7^3 - 6(7)^2 = 7^2(7 - 6) = 49 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция убывает, если $f'(x) \le 0$. Это происходит на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0; 6]$. Объединяя их, получаем промежуток убывания $(-\infty; 6]$. Функция возрастает, если $f'(x) \ge 0$. Это происходит на промежутке $[6; +\infty)$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=0$ знак производной не меняется (с минуса на минус), поэтому $x=0$ не является точкой экстремума. В точке $x=6$ знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, $x=6$ является точкой минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[6; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 6]$, точка минимума $x_{min} = 6$.

2)

Дана функция $f(x) = (x - 1)^3(x - 2)^2$.

1. Найдём производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x - 1)^3)'(x - 2)^2 + (x - 1)^3((x - 2)^2)'$

$f'(x) = 3(x - 1)^2 \cdot (x - 2)^2 + (x - 1)^3 \cdot 2(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x - 1)^2(x - 2)$ за скобки:

$f'(x) = (x - 1)^2(x - 2) [3(x - 2) + 2(x - 1)] = (x - 1)^2(x - 2) [3x - 6 + 2x - 2] = (x - 1)^2(x - 2)(5x - 8)$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$(x - 1)^2(x - 2)(5x - 8) = 0$

Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = \frac{8}{5} = 1,6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; 1)$, $(1; 1,6)$, $(1,6; 2)$ и $(2; +\infty)$. Множитель $(x - 1)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной определяется знаками выражений $(x - 2)$ и $(5x - 8)$.

• На интервале $(-\infty; 1)$: возьмём $x = 0$. $f'(0) = (-1)^2(-2)(-8) = 16 > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1; 1,6)$: возьмём $x = 1,5$. $f'(1,5) = (0,5)^2(-0,5)(5 \cdot 1,5 - 8) = (0,25)(-0,5)(-0,5) > 0$. Функция возрастает.
• На интервале $(1,6; 2)$: возьмём $x = 1,8$. $f'(1,8) = (0,8)^2(-0,2)(5 \cdot 1,8 - 8) = (0,64)(-0,2)(1) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$. $f'(3) = (2)^2(1)(15 - 8) = 28 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает на $(-\infty; 1,6]$ и $[2; +\infty)$. Функция убывает на $[1,6; 2]$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=1$ знак производной не меняется, экстремума нет. В точке $x=1,6$ знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. $x_{max} = 1,6$. В точке $x=2$ знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума. $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1,6]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутке $[1,6; 2]$, точка максимума $x_{max} = 1,6$, точка минимума $x_{min} = 2$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3$.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{6}x^6 + \frac{4}{5}x^5 + x^4 + 3)' = \frac{1}{6} \cdot 6x^5 + \frac{4}{5} \cdot 5x^4 + 4x^3 + 0 = x^5 + 4x^4 + 4x^3$.

2. Найдём критические точки:

$x^5 + 4x^4 + 4x^3 = 0$

$x^3(x^2 + 4x + 4) = 0$

$x^3(x + 2)^2 = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

3. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$. Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен, поэтому знак производной зависит от знака $x^3$.

• На интервале $(-\infty; -2)$: возьмём $x = -3$. $f'(-3) = (-3)^3(-3+2)^2 = -27 \cdot 1 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(-2; 0)$: возьмём $x = -1$. $f'(-1) = (-1)^3(-1+2)^2 = -1 \cdot 1 < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(0; +\infty)$: возьмём $x = 1$. $f'(1) = 1^3(1+2)^2 = 1 \cdot 9 > 0$. Функция возрастает.

4. Определим промежутки возрастания и убывания. Функция убывает на $(-\infty; -2]$ и $[-2; 0]$. Объединяя, получаем промежуток убывания $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. Определим точки экстремума. В точке $x=-2$ знак производной не меняется, экстремума нет. В точке $x=0$ знак производной меняется с минуса на плюс, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

42.11. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9;$

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3.$

1) $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать знак производной функции.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^4 - 8x^3 + 6x^2 - 9)' = 3 \cdot 4x^3 - 8 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x - 0 = 12x^3 - 24x^2 + 12x$.

3. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$ (точки, в которых производная равна нулю или не существует). Так как производная является многочленом, она существует при всех $x$.

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

Вынесем общий множитель $12x$ за скобки:

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках является полным квадратом:

$12x(x - 1)^2 = 0$

Корни уравнения (критические точки): $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• На интервале $(-\infty; 0)$, выберем точку $x=-1$. $f'(-1) = 12(-1)(-1-1)^2 = -12 \cdot 4 = -48 < 0$. Следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0]$.
• На интервале $(0; 1)$, выберем точку $x=0.5$. $f'(0.5) = 12(0.5)(0.5-1)^2 = 6 \cdot (-0.5)^2 = 1.5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0; 1]$.
• На интервале $(1; +\infty)$, выберем точку $x=2$. $f'(2) = 12(2)(2-1)^2 = 24 \cdot 1^2 = 24 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[1; +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $[0; +\infty)$.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=0$ — точка минимума.

В точке $x=1$ производная не меняет знак (остается положительной), следовательно, $x=1$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, точка минимума $x_{min} = 0$.

2) $f(x) = (x + 4)^4(x - 3)^3$

1. Область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = ((x+4)^4)'(x-3)^3 + (x+4)^4((x-3)^3)'$

$f'(x) = 4(x+4)^3 \cdot 1 \cdot (x-3)^3 + (x+4)^4 \cdot 3(x-3)^2 \cdot 1$

$f'(x) = 4(x+4)^3(x-3)^3 + 3(x+4)^4(x-3)^2$

3. Упростим выражение для производной, вынеся общий множитель $(x+4)^3(x-3)^2$ за скобки:

$f'(x) = (x+4)^3(x-3)^2 [4(x-3) + 3(x+4)] = (x+4)^3(x-3)^2 (4x - 12 + 3x + 12) = (x+4)^3(x-3)^2(7x)$

$f'(x) = 7x(x+4)^3(x-3)^2$

Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$7x(x+4)^3(x-3)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 3)$ и $(3; +\infty)$. Заметим, что множитель $(x-3)^2$ всегда неотрицателен и не влияет на знак производной (кроме точки $x=3$, где он равен нулю).

• На интервале $(-\infty; -4)$, выберем $x=-5$. $f'(-5) = 7(-5)(-5+4)^3(-5-3)^2 = (-)(-)^3(+) = (-)(-)(+) > 0$. Функция возрастает на $(-\infty; -4]$.
• На интервале $(-4; 0)$, выберем $x=-1$. $f'(-1) = 7(-1)(-1+4)^3(-1-3)^2 = (-)(+)^3(+) < 0$. Функция убывает на $[-4; 0]$.
• На интервале $(0; 3)$, выберем $x=1$. $f'(1) = 7(1)(1+4)^3(1-3)^2 = (+)(+)^3(+) > 0$. Функция возрастает на $[0; 3]$.
• На интервале $(3; +\infty)$, выберем $x=4$. $f'(4) = 7(4)(4+4)^3(4-3)^2 = (+)(+)^3(+) > 0$. Функция возрастает на $[3; +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $(-\infty; -4]$ и на $[0; +\infty)$.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x=-4$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, $x=-4$ — точка максимума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=0$ — точка минимума.

В точке $x=3$ производная не меняет знак, следовательно, $x=3$ не является точкой экстремума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-4; 0]$, точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 0$.

42.12. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10;$

2) $f(x) = \sin x - x.$

1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10$

Чтобы доказать, что функция не имеет точек экстремума, нужно найти ее производную и исследовать ее знак. Точка является точкой экстремума, если в ней производная равна нулю или не существует, и при переходе через эту точку производная меняет знак.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x - 10)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 4 - 0 = x^2 - 4x + 4$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом:

$(x - 2)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = 2$. Это единственная критическая точка функции.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = (x - 2)^2$ в окрестности точки $x = 2$.

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Производная равна нулю только в точке $x = 2$, а при всех остальных значениях $x$ она строго положительна.

При $x < 2$, $f'(x) = (x - 2)^2 > 0$.

При $x > 2$, $f'(x) = (x - 2)^2 > 0$.

Поскольку производная не меняет свой знак при переходе через критическую точку $x = 2$ (остаётся положительной), то в этой точке экстремума нет. Других критических точек у функции нет, следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как её производная $f'(x) = (x-2)^2$ неотрицательна при всех $x$ и не меняет знак при переходе через единственную критическую точку $x=2$.

2) $f(x) = \sin x - x$

Применим тот же метод: найдем производную и исследуем её знак.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x - x)' = \cos x - 1$.

2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Решениями этого уравнения являются точки $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел). Это критические точки функции.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$.

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$.

Следовательно, для производной $f'(x) = \cos x - 1$ справедливо неравенство:

$-1 - 1 \le \cos x - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le f'(x) \le 0$

Это означает, что производная функции всегда неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех значений $x$. Производная обращается в ноль только в критических точках $x = 2\pi n$, а во всех остальных точках она строго отрицательна ($f'(x) < 0$).

Поскольку производная не меняет свой знак при переходе через критические точки (в их окрестности она остаётся отрицательной), то в этих точках экстремумов нет. Следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Ответ: Функция не имеет точек экстремума, так как её производная $f'(x) = \cos x - 1$ неположительна при всех $x$ и не меняет знак при переходе через критические точки.