Страница 327 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую точку называют точкой максимума функции; точкой минимума функции; критической точкой функции?

2. Сформулируйте признак максимума функции; признак минимума функции.

1. Какую точку называют точкой максимума функции; точкой минимума функции; критической точкой функции?

Точкой максимума функции (или точкой локального максимума) называют точку $x_0$ из области определения функции $f(x)$, для которой существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Точкой минимума функции (или точкой локального минимума) называют точку $x_0$ из области определения функции $f(x)$, для которой существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Точки максимума и минимума объединяют общим названием — точки экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.

Критической точкой функции $f(x)$ называют внутреннюю точку её области определения, в которой производная $f'(x)$ равна нулю или не существует. Точки экстремума функции могут существовать только в её критических точках (согласно необходимому условию экстремума — теореме Ферма).

Ответ: Точка максимума — точка, значение функции в которой не меньше значений в некоторой её окрестности. Точка минимума — точка, значение функции в которой не больше значений в некоторой её окрестности. Критическая точка — это внутренняя точка области определения, где производная функции равна нулю или не существует.

2. Сформулируйте признак максимума функции; признак минимума функции.

Признаки максимума и минимума функции представляют собой достаточное условие экстремума, которое позволяет по знаку производной в окрестности критической точки определить, является ли она точкой экстремума.

Пусть функция $f(x)$ непрерывна в критической точке $x_0$ и дифференцируема в некоторой её окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$). Тогда:

Признак максимума функции: Если при переходе через точку $x_0$ (слева направо) производная $f'(x)$ меняет свой знак с плюса на минус (то есть, для $x < x_0$ в некоторой окрестности производная $f'(x) > 0$, а для $x > x_0$ — $f'(x) < 0$), то $x_0$ является точкой максимума функции $f(x)$.

Признак минимума функции: Если при переходе через точку $x_0$ (слева направо) производная $f'(x)$ меняет свой знак с минуса на плюс (то есть, для $x < x_0$ в некоторой окрестности производная $f'(x) < 0$, а для $x > x_0$ — $f'(x) > 0$), то $x_0$ является точкой минимума функции $f(x)$.

Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет.

Ответ: Признак максимума: при переходе через критическую точку производная меняет знак с + на −. Признак минимума: при переходе через критическую точку производная меняет знак с − на +.

42.1. На рисунке 42.18 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[ -10; 9 ]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 42.18

1) критические точки функции
Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. На данном графике функция является гладкой, поэтому ее производная существует во всех внутренних точках области определения. Следовательно, критическими будут только те точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Геометрически это означает, что касательная к графику в этих точках горизонтальна. Такие точки соответствуют локальным максимумам и минимумам функции ("вершинам" и "впадинам" на графике).
Находим на графике абсциссы всех точек максимума и минимума:
$x = -7$, $x = -4$, $x = -1$, $x = 2$, $x = 4$, $x = 7$.
Ответ: -7; -4; -1; 2; 4; 7.

2) точки минимума
Точки минимума — это точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике это абсциссы "впадин".
Из графика видно, что функция имеет локальные минимумы в точках с абсциссами:
$x = -4$, $x = 2$, $x = 7$.
Ответ: -4; 2; 7.

3) точки максимума
Точки максимума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике это абсциссы "вершин".
Из графика видно, что функция имеет локальные максимумы в точках с абсциссами:
$x = -7$, $x = -1$, $x = 4$.
Ответ: -7; -1; 4.