Страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.18. При каких значениях параметра a является возрастающей функция:

1) $y = x^3 - ax;$

2) $y = 3\sin 4x + ax;$

3) $y = -2\sqrt{1-x} + ax;$

4) $y = \frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4? $

1) $y = x^3 - ax$

Функция является возрастающей на своей области определения, если ее производная неотрицательна для всех значений аргумента из этой области. Область определения данной функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$).

Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - ax)' = 3x^2 - a$.

Для того чтобы функция возрастала, должно выполняться условие $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$3x^2 - a \ge 0$

$3x^2 \ge a$

Это неравенство должно быть верным для любого значения $x$. Левая часть неравенства, $3x^2$, является параболой с ветвями вверх, и ее наименьшее значение равно 0 (при $x=0$). Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, параметр $a$ должен быть не больше наименьшего значения левой части.

Следовательно, $a \le 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

2) $y = 3\sin 4x + ax$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Найдем производную:

$y' = (3\sin 4x + ax)' = 3 \cdot (\cos 4x) \cdot 4 + a = 12\cos 4x + a$.

Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$12\cos 4x + a \ge 0$

$a \ge -12\cos 4x$

Это неравенство должно выполняться для всех $x$. Множество значений функции $\cos 4x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, множество значений выражения $-12\cos 4x$ — это отрезок $[-12, 12]$.

Чтобы неравенство $a \ge -12\cos 4x$ было верным для всех $x$, значение $a$ должно быть не меньше наибольшего значения выражения $-12\cos 4x$. Наибольшее значение $-12\cos 4x$ равно 12.

Следовательно, $a \ge 12$.

Ответ: $a \in [12, +\infty)$.

3) $y = -2\sqrt{1-x} + ax$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0$, что означает $x \le 1$. Таким образом, $D(y) = (-\infty, 1]$.

Найдем производную функции:

$y' = (-2\sqrt{1-x} + ax)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1) + a = \frac{1}{\sqrt{1-x}} + a$.

Производная определена для $x < 1$. Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in (-\infty, 1)$.

$\frac{1}{\sqrt{1-x}} + a \ge 0$

$a \ge -\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

Это неравенство должно выполняться для всех $x < 1$. Проанализируем выражение $g(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x}}$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to 0$. При $x \to 1^-$, $g(x) \to -\infty$. Множество значений $g(x)$ на интервале $(-\infty, 1)$ — это $(-\infty, 0)$.

Чтобы неравенство $a \ge g(x)$ выполнялось для всех $x < 1$, параметр $a$ должен быть больше или равен точной верхней грани (supremum) множества значений $g(x)$. Точная верхняя грань для интервала $(-\infty, 0)$ равна 0.

Следовательно, $a \ge 0$.

Ответ: $a \in [0, +\infty)$.

4) $y = \frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$). Найдем производную:

$y' = (\frac{x^3}{3} + 2(a+1)x^2 + 9x - 4)' = x^2 + 4(a+1)x + 9$.

Условие возрастания функции: $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

$x^2 + 4(a+1)x + 9 \ge 0$

Выражение в левой части — это квадратичная функция от $x$, график которой — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Эта парабола будет целиком находиться не ниже оси абсцисс, если у соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4(a+1)x + 9 = 0$ будет не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ неположителен ($D \le 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (4(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16(a+1)^2 - 36$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$16(a+1)^2 - 36 \le 0$

$16(a+1)^2 \le 36$

$(a+1)^2 \le \frac{36}{16}$

$(a+1)^2 \le \frac{9}{4}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$|a+1| \le \frac{3}{2}$

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{3}{2} \le a+1 \le \frac{3}{2}$

Вычтем 1 из всех частей:

$-\frac{3}{2} - 1 \le a \le \frac{3}{2} - 1$

$-\frac{5}{2} \le a \le \frac{1}{2}$

Ответ: $a \in [-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}]$.

41.19. При каких значениях параметра $a$ является убывающей функция:

1) $y = ax - x^5;$

2) $y = 2\cos 3x + ax;$

3) $y = -2\sqrt{x + 3} + ax;$

4) $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21?$

1) Функция $y = ax - x^5$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (ax - x^5)' = a - 5x^4$. Решим неравенство $y' \le 0$: $a - 5x^4 \le 0$ $a \le 5x^4$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Выражение $5x^4$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно $0$ (при $x=0$). Чтобы неравенство $a \le 5x^4$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения правой части. Следовательно, $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

2) Функция $y = 2\cos 3x + ax$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (2\cos 3x + ax)' = -2\sin(3x) \cdot 3 + a = a - 6\sin(3x)$. Решим неравенство $y' \le 0$: $a - 6\sin(3x) \le 0$ $a \le 6\sin(3x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Область значений функции $\sin(3x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда область значений выражения $6\sin(3x)$ — это отрезок $[-6, 6]$. Чтобы неравенство $a \le 6\sin(3x)$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения правой части. Наименьшее значение выражения $6\sin(3x)$ равно $-6$. Следовательно, $a \le -6$.
Ответ: $a \in (-\infty, -6]$.

3) Функция $y = -2\sqrt{x+3} + ax$ является убывающей на своей области определения. Область определения функции задается условием $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. $D(y) = [-3, +\infty)$. Функция должна быть убывающей, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из области определения (для которых производная существует, т.е. $x > -3$). Найдем производную функции: $y' = (-2\sqrt{x+3} + ax)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + a = a - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$. Решим неравенство $y' \le 0$ для $x \in (-3, +\infty)$: $a - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0$ $a \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ Это неравенство должно выполняться для всех $x > -3$. Выражение $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ всегда положительно. При $x \to -3^+$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to 0^+$, а вся дробь стремится к $+\infty$. При $x \to +\infty$, знаменатель стремится к $+\infty$, а вся дробь стремится к $0$. Таким образом, множество значений выражения $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на интервале $(-3, +\infty)$ есть $(0, +\infty)$. Чтобы неравенство $a \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ выполнялось для всех $x > -3$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения (или точной нижней грани) правой части. Точная нижняя грань (инфимум) множества значений $(0, +\infty)$ равна $0$. Следовательно, $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

4) Функция $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (-\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21)' = -x^2 + ax - 4$. Решим неравенство $y' \le 0$: $-x^2 + ax - 4 \le 0$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $x^2 - ax + 4 \ge 0$ Это квадратичная функция относительно $x$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство будет выполняться для всех $x$, если парабола не имеет точек ниже оси абсцисс, то есть либо не имеет с ней общих точек, либо касается ее в одной точке. Это условие выполняется, когда дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - ax + 4$ неположителен ($D \le 0$). $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$. Решим неравенство $D \le 0$: $a^2 - 16 \le 0$ $(a-4)(a+4) \le 0$ Корни $a=-4$ и $a=4$. Методом интервалов находим, что решение неравенства — это отрезок между корнями. Следовательно, $-4 \le a \le 4$.
Ответ: $a \in [-4, 4]$.

41.20. При каких значениях параметра $c$ функция $f(x) = (c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7$ возрастает на $R$?

Функция $f(x)$ возрастает на всей числовой прямой $R$ тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ неотрицательна для всех $x \in R$, то есть выполняется условие $f'(x) \ge 0$.

1. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = (c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7$.

Ее производная равна:

$f'(x) = ((c - 12)x^3 + 3(c - 12)x^2 + 6x + 7)' = 3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6$.

2. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$.

Нам нужно, чтобы неравенство $3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6 \ge 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $c - 12 = 0$, то есть $c = 12$.

В этом случае производная принимает вид:

$f'(x) = 3(0)x^2 + 6(0)x + 6 = 6$.

Неравенство $6 \ge 0$ верно для всех $x \in R$. Следовательно, значение $c = 12$ является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $c - 12 \ne 0$, то есть $c \ne 12$.

В этом случае $f'(x)$ является квадратичной функцией. График этой функции — парабола. Чтобы парабола была расположена не ниже оси абсцисс (то есть $f'(x) \ge 0$ для всех $x$), необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, а дискриминант был неположительным.

Это приводит к системе из двух условий:

$\begin{cases} 3(c - 12) > 0 \\ D \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$c - 12 > 0 \implies c > 12$.

Теперь найдем дискриминант $D$ для квадратного трехчлена $3(c - 12)x^2 + 6(c - 12)x + 6$:

$D = (6(c - 12))^2 - 4 \cdot (3(c - 12)) \cdot 6 = 36(c - 12)^2 - 72(c - 12)$.

Решим второе неравенство $D \le 0$:

$36(c - 12)^2 - 72(c - 12) \le 0$.

Вынесем общий множитель $36(c - 12)$ за скобки:

$36(c - 12)((c - 12) - 2) \le 0$.

$36(c - 12)(c - 14) \le 0$.

Разделив обе части на 36, получим:

$(c - 12)(c - 14) \le 0$.

Решением этого неравенства является отрезок $12 \le c \le 14$.

Теперь объединим два условия для этого случая:

$\begin{cases} c > 12 \\ 12 \le c \le 14 \end{cases}$

Решением этой системы является полуинтервал $12 < c \le 14$.

3. Объединим решения из обоих случаев.

В первом случае мы получили $c = 12$.

Во втором случае мы получили $12 < c \le 14$.

Объединяя эти результаты, получаем, что функция возрастает на $R$ при $c \in [12, 14]$.

Ответ: $c \in [12, 14]$.

41.21. При каких значениях параметра a функция $y = (a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12$ убывает на R?

Для того чтобы функция $y(x)$ убывала на всей числовой прямой $R$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $y'(x)$ была неположительна для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \le 0$.

Дана функция: $y = (a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12$.
Найдем ее производную по $x$:
$y' = \frac{d}{dx}((a + 3)x^3 + 3(a + 3)x^2 - 5x + 12) = 3(a + 3)x^2 + 6(a + 3)x - 5$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $3(a + 3)x^2 + 6(a + 3)x - 5 \le 0$ выполняется для всех $x \in R$.

Выражение для производной является квадратным трехчленом относительно $x$. Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Это происходит при $3(a + 3) = 0$, то есть $a = -3$.
Подставим это значение в выражение для производной:
$y' = 0 \cdot x^2 + 6(-3 + 3)x - 5 = -5$.
Неравенство $y' \le 0$ принимает вид $-5 \le 0$, что является верным для любого $x$.
Следовательно, при $a = -3$ функция убывает на $R$, и это значение параметра является частью решения.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
Это происходит при $a \neq -3$.
В этом случае $y'$ представляет собой квадратичную функцию от $x$. Для того чтобы график этой функции (парабола) был полностью расположен не выше оси абсцисс ($y' \le 0$), необходимо и достаточно выполнение двух условий:
1) Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз).
2) Дискриминант $D$ должен быть неположительным (парабола имеет не более одной общей точки с осью абсцисс).

Рассмотрим эти условия по порядку:
1) $3(a + 3) < 0 \implies a + 3 < 0 \implies a < -3$.
2) Найдем дискриминант:
$D = (6(a + 3))^2 - 4 \cdot (3(a + 3)) \cdot (-5) = 36(a + 3)^2 + 60(a + 3)$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$36(a + 3)^2 + 60(a + 3) \le 0$.
Вынесем общий множитель $12(a + 3)$ за скобки:
$12(a + 3)[3(a + 3) + 5] \le 0$.
$(a + 3)(3a + 9 + 5) \le 0$.
$(a + 3)(3a + 14) \le 0$.
Корни левой части: $a_1 = -3$ и $a_2 = -14/3$. Так как ветви параболы $f(a)=(a + 3)(3a + 14)$ направлены вверх, решением неравенства является промежуток между корнями, включая их: $a \in [-14/3, -3]$.

Для второго случая необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Найдем пересечение полученных множеств:
$\begin{cases} a < -3 \\ a \in [-14/3, -3] \end{cases}$
Результатом является полуинтервал $a \in [-14/3, -3)$.

Наконец, объединим решения, полученные в обоих случаях:
Из случая 1: $a = -3$.
Из случая 2: $a \in [-14/3, -3)$.
Объединение этих множеств $a \in [-14/3, -3) \cup \{-3\}$ дает итоговый результат: $a \in [-14/3, -3]$.

Ответ: $a \in [-14/3, -3]$.

41.22. Докажите неравенство $\cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2}$.

Для доказательства данного неравенства $ \cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2} $ преобразуем его к виду $ \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0 $ и рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 $. Наша задача — доказать, что $ f(x) \ge 0 $ для всех действительных значений $ x $.

Для исследования функции найдем ее первую и вторую производные.

Первая производная: $ f'(x) = (\cos x + \frac{x^2}{2} - 1)' = -\sin x + \frac{2x}{2} = x - \sin x $.

Вторая производная: $ f''(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x $.

Проанализируем знак второй производной. Поскольку область значений функции косинуса $ [-1; 1] $, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $, то для выражения $ 1 - \cos x $ мы имеем: $ 1 - 1 \le 1 - \cos x \le 1 - (-1) $, что дает $ 0 \le 1 - \cos x \le 2 $. Следовательно, $ f''(x) = 1 - \cos x \ge 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Так как вторая производная $ f''(x) $ неотрицательна на всей числовой оси, то первая производная $ f'(x) $ является неубывающей функцией. Найдем значение $ f'(x) $ в точке $ x = 0 $: $ f'(0) = 0 - \sin 0 = 0 $.

Поскольку $ f'(x) $ не убывает и $ f'(0) = 0 $, мы можем сделать вывод о знаке $ f'(x) $:

• при $ x \ge 0 $ выполняется $ f'(x) \ge f'(0) $, то есть $ f'(x) \ge 0 $;
• при $ x \le 0 $ выполняется $ f'(x) \le f'(0) $, то есть $ f'(x) \le 0 $.

Знак первой производной определяет поведение исходной функции $ f(x) $:

• на промежутке $ (-\infty, 0] $ функция $ f(x) $ не возрастает (убывает), так как $ f'(x) \le 0 $;
• на промежутке $ [0, +\infty) $ функция $ f(x) $ не убывает (возрастает), так как $ f'(x) \ge 0 $.

Таким образом, в точке $ x = 0 $ функция $ f(x) $ достигает своего наименьшего (минимального) значения.

Вычислим это минимальное значение: $ f(0) = \cos 0 + \frac{0^2}{2} - 1 = 1 + 0 - 1 = 0 $.

Поскольку минимальное значение функции $ f(x) $ равно 0, то для любого действительного $ x $ выполняется неравенство $ f(x) \ge 0 $. Это означает, что $ \cos x + \frac{x^2}{2} - 1 \ge 0 $, откуда следует доказываемое неравенство $ \cos x \ge 1 - \frac{x^2}{2} $.

Ответ: Неравенство доказано.

41.23. Докажите неравенство $x < \operatorname{tg} x$, где $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для доказательства неравенства $x < \operatorname{tg} x$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ введем в рассмотрение вспомогательную функцию $f(x) = \operatorname{tg} x - x$. Наша задача — доказать, что $f(x) > 0$ для всех $x$ из указанного интервала.

Для этого исследуем поведение функции с помощью ее производной. Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$:

$f'(x) = (\operatorname{tg} x - x)' = (\operatorname{tg} x)' - (x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы можем преобразовать выражение для производной:

$f'(x) = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \operatorname{tg}^2 x$

Теперь определим знак производной $f'(x)$ на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$. На этом интервале функция $\operatorname{tg} x$ определена и принимает строго положительные значения (то есть $\operatorname{tg} x > 0$). Следовательно, ее квадрат $\operatorname{tg}^2 x$ также будет строго положителен.

Таким образом, $f'(x) = \operatorname{tg}^2 x > 0$ для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ положительна на всем интервале, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом интервале.

Теперь найдем значение функции на левой границе рассматриваемого промежутка, то есть в точке $x = 0$:

$f(0) = \operatorname{tg} 0 - 0 = 0 - 0 = 0$

Так как функция $f(x)$ строго возрастает на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ и ее значение в точке $x=0$ равно нулю, то для любого $x$ из этого интервала будет выполняться неравенство $f(x) > f(0)$.

$f(x) > 0$

$\operatorname{tg} x - x > 0$

$\operatorname{tg} x > x$

Это равносильно исходному неравенству $x < \operatorname{tg} x$. Таким образом, неравенство доказано для всех $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.

Ответ: Неравенство доказано.

41.24. Решите уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.

Рассмотрим уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $1 - 8x \ge 0$. Решая неравенство, получаем: $1 \ge 8x$ $x \le \frac{1}{8}$. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}]$.

Для анализа уравнения введем две функции, соответствующие левой и правой его частям: $f(x) = 3x^7 + x + 7$ $g(x) = \sqrt{1 - 8x}$

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную: $f'(x) = (3x^7 + x + 7)' = 21x^6 + 1$. Поскольку $x^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $21x^6 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 21x^6 + 1 \ge 1$, то есть $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на ОДЗ.

Теперь исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную: $g'(x) = (\sqrt{1 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 8x}} \cdot (1 - 8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{1 - 8x}} = -\frac{4}{\sqrt{1 - 8x}}$. На области определения $(-\infty, \frac{1}{8})$ знаменатель $\sqrt{1 - 8x}$ всегда положителен. Таким образом, $g'(x)$ является отрицательной для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения.

Уравнение $f(x) = g(x)$ представляет собой равенство строго возрастающей функции $f(x)$ и строго убывающей функции $g(x)$. Графики таких функций могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного решения.

Попробуем найти это единственное решение методом подбора, проверяя целые значения $x$ из ОДЗ. Проверим $x = -1$:
Левая часть: $3(-1)^7 + (-1) + 7 = 3(-1) - 1 + 7 = -3 - 1 + 7 = 3$.
Правая часть: $\sqrt{1 - 8(-1)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.
Поскольку левая и правая части уравнения равны $3$, то $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, и мы нашли этот корень, то $x = -1$ является единственным решением.

Ответ: -1

41.25. Решите уравнение $x^5 + 4x + \cos x = 1$.

Рассмотрим данное уравнение: $x^5 + 4x + \cos x = 1$.

Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону и введем функцию $f(x)$:

$f(x) = x^5 + 4x + \cos x - 1$.

Теперь задача сводится к нахождению корней уравнения $f(x) = 0$.

Попробуем найти один из корней методом подбора. Проверим значение $x=0$:

$f(0) = 0^5 + 4 \cdot 0 + \cos(0) - 1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$.

Таким образом, $x=0$ является корнем данного уравнения.

Чтобы выяснить, существуют ли другие корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 4x + \cos x - 1)' = 5x^4 + 4 - \sin x$.

Теперь оценим знак производной. Нам известно, что:

• $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, следовательно, $5x^4 \ge 0$.
• Функция синус принимает значения в диапазоне $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

Используя эти свойства, мы можем оценить минимальное значение производной:

$f'(x) = 5x^4 + 4 - \sin x$.

Наименьшее значение $5x^4$ равно $0$. Наибольшее значение $\sin x$ равно $1$.

Тогда $f'(x) \ge 0 + 4 - 1 = 3$.

Поскольку $f'(x) \ge 3$, производная функции всегда положительна ($f'(x) > 0$) для любого значения $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Строго монотонная функция может принимать каждое свое значение только один раз. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня. Так как мы уже нашли корень $x=0$, он является единственным.

Ответ: $0$.

41.26. Решите уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.

Рассмотрим уравнение $x^3 + 2x = \sin x$.

Заметим, что $x=0$ является решением, так как при подстановке в уравнение мы получаем верное равенство:

$0^3 + 2 \cdot 0 = \sin 0$

$0 = 0$

Чтобы доказать, что это решение единственное, перепишем уравнение в виде $x^3 + 2x - \sin x = 0$ и рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 2x - \sin x$. Нам нужно найти все корни уравнения $f(x) = 0$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + 2x - \sin x)' = 3x^2 + 2 - \cos x$

Оценим знак производной. Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно, то есть $3x^2 \ge 0$. Область значений функции $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \cos x \le 1$. Отсюда следует, что минимальное значение выражения $2 - \cos x$ равно $2 - 1 = 1$.

Таким образом, мы можем оценить производную снизу:

$f'(x) = 3x^2 + (2 - \cos x) \ge 0 + 1 = 1$

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна ($f'(x) \ge 1 > 0$), функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение, равное нулю) не более одного раза. Так как мы уже нашли, что $f(0)=0$, то $x=0$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $0$.

41.27. Решите неравенство $x^7 + 3x > 2x^4 + 2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $f(x) > 0$.

$x^7 + 3x - 2x^4 - 2 > 0$

$x^7 - 2x^4 + 3x - 2 > 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^7 - 2x^4 + 3x - 2$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

Для начала найдем корни уравнения $f(x) = 0$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (числа -2), то есть среди $\pm 1, \pm 2$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^7 - 2 \cdot 1^4 + 3 \cdot 1 - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0$.

Таким образом, $x=1$ является корнем уравнения $f(x) = 0$.

Теперь исследуем поведение функции $f(x)$ с помощью ее производной, чтобы определить, есть ли другие корни и как функция ведет себя на числовой оси.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^7 - 2x^4 + 3x - 2)' = 7x^6 - 8x^3 + 3$.

Чтобы определить знак производной, сделаем замену $t = x^3$. Тогда выражение для производной примет вид квадратного трехчлена относительно $t$:

$g(t) = 7t^2 - 8t + 3$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 64 - 84 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=7 > 0$, квадратный трехчлен $7t^2 - 8t + 3$ принимает только положительные значения при любых значениях $t$.

Поскольку $t=x^3$ и $7t^2 - 8t + 3 > 0$ для всех $t$, то и производная $f'(x) = 7x^6 - 8x^3 + 3$ всегда положительна для всех действительных значений $x$.

Если производная функции $f'(x) > 0$ на всей числовой оси, то функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Мы уже нашли, что $f(1) = 0$, следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения $f(x) = 0$.

Так как функция $f(x)$ строго возрастает и обращается в ноль при $x=1$, то:

• при $x > 1$ значения функции будут больше нуля, то есть $f(x) > 0$;
• при $x < 1$ значения функции будут меньше нуля, то есть $f(x) < 0$.

Нас интересует решение неравенства $f(x) > 0$, которое выполняется при $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

41.28. Решите неравенство $x^5 + 4x < 2x^3 + 3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $P(x) < 0$:

$x^5 + 4x - 2x^3 - 3 < 0$

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 < 0$

Обозначим левую часть как многочлен $f(x) = x^5 - 2x^3 + 4x - 3$. Для решения неравенства методом интервалов нам нужно найти корни уравнения $f(x) = 0$.

Попробуем найти целые или рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни следует искать среди делителей свободного члена (числа -3), деленных на делители старшего коэффициента (числа 1). Таким образом, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 3$.

Проверим $x = 1$:

$f(1) = 1^5 - 2 \cdot 1^3 + 4 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$.

Поскольку $f(1)=0$, то $x=1$ является корнем многочлена. Это означает, что многочлен $f(x)$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^5 - 2x^3 + 4x - 3$ на $(x-1)$ (например, используя схему Горнера или деление столбиком):

$(x^5 + 0x^4 - 2x^3 + 0x^2 + 4x - 3) \div (x - 1) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$.

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$.

Рассмотрим второй множитель, многочлен $g(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$, и исследуем его знак.

Докажем, что $g(x) > 0$ для всех действительных значений $x$. Для этого представим $g(x)$ в виде суммы неотрицательных слагаемых и положительной константы:

$g(x) = (x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2$.

Проверим правильность этого тождества, раскрыв скобки в правой части:

$(x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2 = (x^4 + \frac{x^2}{4} + 1 + x^3 - 2x^2 - x) + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 + (\frac{1}{4} - 2)x^2 - x + 1 + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 - \frac{7}{4}x^2 - x + 1 + \frac{3}{4}x^2 + 2$

$= x^4 + x^3 + (-\frac{7}{4} + \frac{3}{4})x^2 - x + 3$

$= x^4 + x^3 - x^2 - x + 3 = g(x)$.

Тождество верно. Теперь оценим значение $g(x)$:

Поскольку $(x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}x^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, то их сумма, сложенная с положительным числом 2, всегда будет положительной:

$g(x) = (x^2 + \frac{x}{2} - 1)^2 + \frac{3}{4}x^2 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$.

Таким образом, мы доказали, что $g(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку второй множитель в неравенстве $(x-1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на $g(x)$, не меняя при этом знака неравенства:

$x - 1 < 0$

Решая это простое линейное неравенство, получаем:

$x < 1$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

41.29. Решите систему уравнений $\begin{cases}x - y = \sin x - \sin y, \\3x + 4y = 7.\end{cases}$

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = \sin x - \sin y, \\ 3x + 4y = 7. \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы, сгруппировав слагаемые с $x$ и $y$:

$x - \sin x = y - \sin y$

Рассмотрим функцию $f(t) = t - \sin t$. Тогда первое уравнение системы принимает вид $f(x) = f(y)$.

Для того чтобы определить, при каких условиях выполняется это равенство, исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(t) = (t - \sin t)' = 1 - \cos t$.

Известно, что значение косинуса находится в пределах от $-1$ до $1$, то есть $-1 \le \cos t \le 1$.

Следовательно, производная $f'(t) = 1 - \cos t$ всегда неотрицательна, $f'(t) \ge 0$ для всех действительных $t$.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $\cos t = 1$, то есть при $t = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Поскольку производная неотрицательна и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно тогда и только тогда, когда $x = y$.

Теперь, зная, что $x=y$, подставим это во второе уравнение системы:

$3x + 4y = 7$

$3x + 4x = 7$

$7x = 7$

$x = 1$

Так как $y = x$, то $y = 1$.

Таким образом, единственное решение системы — это пара чисел $(1; 1)$.

Проверка:

Подставим найденные значения $x = 1$ и $y = 1$ в исходную систему уравнений:

$\begin{cases} 1 - 1 = \sin 1 - \sin 1 \\ 3(1) + 4(1) = 7 \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = 0 \\ 3 + 4 = 7 \end{cases}$

$\begin{cases} 0 = 0 \\ 7 = 7 \end{cases}$

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(1; 1)$.

41.30. Решите систему уравнений $ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 2y = \cos y - \cos x, \\ x + y = 8. \end{cases} $$

Из второго уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 8 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2x - 2(8 - x) = \cos(8 - x) - \cos x$.

Упростим левую часть уравнения:

$2x - 16 + 2x = 4x - 16 = 4(x - 4)$.

Преобразуем правую часть, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\cos(8 - x) - \cos x = -2 \sin\frac{(8 - x) + x}{2} \sin\frac{(8 - x) - x}{2} = -2 \sin\frac{8}{2} \sin\frac{8 - 2x}{2} = -2 \sin(4) \sin(4 - x)$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, получим:

$-2 \sin(4) \sin(-(x - 4)) = 2 \sin(4) \sin(x - 4)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$4(x - 4) = 2 \sin(4) \sin(x - 4)$.

Для удобства анализа сделаем замену переменной $z = x - 4$. Уравнение преобразуется к виду:

$4z = 2 \sin(4) \sin(z)$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$4z - 2 \sin(4) \sin(z) = 0$.

Очевидно, что $z = 0$ является решением этого уравнения, так как $4 \cdot 0 - 2 \sin(4) \sin(0) = 0 - 0 = 0$.

Докажем, что это решение является единственным. Рассмотрим функцию $f(z) = 4z - 2 \sin(4) \sin(z)$. Нам нужно найти все корни уравнения $f(z) = 0$.

Найдем производную этой функции по $z$:

$f'(z) = (4z - 2 \sin(4) \sin(z))' = 4 - 2 \sin(4) \cos(z)$.

Оценим значение производной. Угол 4 дан в радианах. Так как $\pi \approx 3.14$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$, то $ \pi < 4 < \frac{3\pi}{2} $. Угол 4 радиана находится в третьей четверти, где синус отрицателен, то есть $-1 \le \sin(4) < 0$.

Коэффициент $-2 \sin(4)$ является положительной константой, причем $0 < -2 \sin(4) \le 2$.

Значение $\cos(z)$ находится в пределах от -1 до 1. Оценим минимальное значение производной $f'(z)$:

$f'(z) = 4 - 2 \sin(4) \cos(z)$.

Так как $-2 \sin(4) > 0$ и $\cos(z) \ge -1$, то:

$-2 \sin(4) \cos(z) \ge -2 \sin(4) \cdot (-1) = 2 \sin(4)$.

Следовательно, $f'(z) \ge 4 + 2 \sin(4)$.

Поскольку $-1 \le \sin(4) < 0$, то $4 + 2 \sin(4) \ge 4 + 2(-1) = 2$.

Таким образом, $f'(z) \ge 2 > 0$ для всех действительных значений $z$.

Поскольку производная функции $f(z)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго возрастающая функция может принимать любое свое значение, в том числе и ноль, не более одного раза. Так как мы уже нашли, что $f(0) = 0$, то $z = 0$ является единственным решением уравнения.

Вернемся к замене:

$z = x - 4 \implies 0 = x - 4 \implies x = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из второго уравнения исходной системы:

$y = 8 - x = 8 - 4 = 4$.

Единственным решением системы является пара чисел $(4, 4)$.

Ответ: $(4, 4)$.

41.31. Докажите, что уравнение $x^n + ax + b = 0$ имеет не больше трёх корней.

Обозначим левую часть уравнения как функцию $f(x) = x^n + ax + b$. Число корней уравнения равно числу нулей этой функции.

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что данное уравнение имеет по меньшей мере четыре различных действительных корня: $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$.

Это означает, что $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = f(x_4) = 0$.

Функция $f(x)$ является многочленом, следовательно, она непрерывна и дифференцируема на всей действительной оси. По теореме Ролля, между любыми двумя корнями функции должен существовать по крайней мере один корень её производной.

Применяя теорему Ролля для функции $f(x)$ на интервалах $(x_1, x_2)$, $(x_2, x_3)$ и $(x_3, x_4)$, мы заключаем, что первая производная $f'(x)$ должна иметь как минимум три различных корня $c_1, c_2, c_3$, где $x_1 < c_1 < x_2 < c_2 < x_3 < c_3 < x_4$.

Теперь рассмотрим вторую производную. Так как $f'(x)$ также является дифференцируемой функцией и имеет не менее трёх корней ($c_1, c_2, c_3$), то по той же теореме Ролля, её производная, то есть вторая производная $f''(x)$, должна иметь по меньшей мере два различных корня $d_1$ и $d_2$, где $c_1 < d_1 < c_2 < d_2 < c_3$.

Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^n + ax + b)' = nx^{n-1} + a$

$f''(x) = (nx^{n-1} + a)' = n(n-1)x^{n-2}$

Рассмотрим уравнение $f''(x) = 0$, то есть $n(n-1)x^{n-2} = 0$.

Проанализируем количество его корней в зависимости от натурального числа $n$.

1. Если $n=1$, исходное уравнение $x + ax + b = 0$ является линейным и имеет не более одного корня.

2. Если $n=2$, исходное уравнение $x^2 + ax + b = 0$ является квадратным и имеет не более двух корней.

3. Если $n > 2$, то $n(n-1) \ne 0$. Уравнение $n(n-1)x^{n-2} = 0$ сводится к $x^{n-2} = 0$, единственным действительным корнем которого является $x=0$.

Таким образом, для любого натурального $n$ вторая производная $f''(x)$ имеет не более одного действительного корня. Это напрямую противоречит нашему выводу, основанному на предположении о четырёх корнях, что $f''(x)$ должна иметь не менее двух корней.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, уравнение $x^n + ax + b = 0$ не может иметь четыре или более корня.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $x^n + ax + b = 0$ имеет не более трёх корней.