Номер 41.19, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.19. При каких значениях параметра $a$ является убывающей функция:

1) $y = ax - x^5;$

2) $y = 2\cos 3x + ax;$

3) $y = -2\sqrt{x + 3} + ax;$

4) $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21?$

1) Функция $y = ax - x^5$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (ax - x^5)' = a - 5x^4$. Решим неравенство $y' \le 0$: $a - 5x^4 \le 0$ $a \le 5x^4$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Выражение $5x^4$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно $0$ (при $x=0$). Чтобы неравенство $a \le 5x^4$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения правой части. Следовательно, $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

2) Функция $y = 2\cos 3x + ax$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (2\cos 3x + ax)' = -2\sin(3x) \cdot 3 + a = a - 6\sin(3x)$. Решим неравенство $y' \le 0$: $a - 6\sin(3x) \le 0$ $a \le 6\sin(3x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Область значений функции $\sin(3x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Тогда область значений выражения $6\sin(3x)$ — это отрезок $[-6, 6]$. Чтобы неравенство $a \le 6\sin(3x)$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения правой части. Наименьшее значение выражения $6\sin(3x)$ равно $-6$. Следовательно, $a \le -6$.
Ответ: $a \in (-\infty, -6]$.

3) Функция $y = -2\sqrt{x+3} + ax$ является убывающей на своей области определения. Область определения функции задается условием $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. $D(y) = [-3, +\infty)$. Функция должна быть убывающей, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x$ из области определения (для которых производная существует, т.е. $x > -3$). Найдем производную функции: $y' = (-2\sqrt{x+3} + ax)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + a = a - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$. Решим неравенство $y' \le 0$ для $x \in (-3, +\infty)$: $a - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0$ $a \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ Это неравенство должно выполняться для всех $x > -3$. Выражение $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ всегда положительно. При $x \to -3^+$, знаменатель $\sqrt{x+3} \to 0^+$, а вся дробь стремится к $+\infty$. При $x \to +\infty$, знаменатель стремится к $+\infty$, а вся дробь стремится к $0$. Таким образом, множество значений выражения $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на интервале $(-3, +\infty)$ есть $(0, +\infty)$. Чтобы неравенство $a \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ выполнялось для всех $x > -3$, значение $a$ должно быть не больше наименьшего значения (или точной нижней грани) правой части. Точная нижняя грань (инфимум) множества значений $(0, +\infty)$ равна $0$. Следовательно, $a \le 0$.
Ответ: $a \in (-\infty, 0]$.

4) Функция $y = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21$ является убывающей на всей числовой оси, если ее производная $y' \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $y' = (-\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 4x + 21)' = -x^2 + ax - 4$. Решим неравенство $y' \le 0$: $-x^2 + ax - 4 \le 0$ Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $x^2 - ax + 4 \ge 0$ Это квадратичная функция относительно $x$, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство будет выполняться для всех $x$, если парабола не имеет точек ниже оси абсцисс, то есть либо не имеет с ней общих точек, либо касается ее в одной точке. Это условие выполняется, когда дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - ax + 4$ неположителен ($D \le 0$). $D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$. Решим неравенство $D \le 0$: $a^2 - 16 \le 0$ $(a-4)(a+4) \le 0$ Корни $a=-4$ и $a=4$. Методом интервалов находим, что решение неравенства — это отрезок между корнями. Следовательно, $-4 \le a \le 4$.
Ответ: $a \in [-4, 4]$.