Номер 41.13, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.13. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sin x - x$;

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$.

1) $f(x) = \sin x - x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как и $\sin x$, и $x$ определены для всех действительных чисел.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - x)' = (\sin x)' - (x)' = \cos x - 1$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($f'(x) > 0$), и убывает там, где ее производная отрицательна ($f'(x) < 0$).

Проанализируем знак производной $f'(x) = \cos x - 1$.

Известно, что область значений функции косинус $E(\cos x) = [-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.

Следовательно, $f'(x) = \cos x - 1 \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Производная $f'(x)$ равна нулю только в тех точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Во всех остальных точках $f'(x) < 0$.

Поскольку производная функции никогда не бывает положительной, у функции нет промежутков возрастания.

Так как $f'(x) \le 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Ответ: промежутков возрастания нет; промежуток убывания: $(-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x$

Для нахождения промежутков монотонности найдем производную функции и определим ее знак.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x\sqrt{2}}{2} - \sin x\right)' = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)' - (\sin x)' = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x$.

Найдем промежутки, на которых функция возрастает, то есть $f'(x) > 0$.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x > 0$

$\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решая это тригонометрическое неравенство, получаем, что $x$ принадлежит объединению интервалов $\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна, концы этих промежутков, где производная равна нулю, можно включить. Таким образом, промежутки возрастания функции:

$\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем промежутки, на которых функция убывает, то есть $f'(x) < 0$.

$\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x < 0$

$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого неравенства являются интервалы $\left(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Включая концы промежутков, получаем промежутки убывания функции:

$\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках $\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.