Номер 41.6, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.6. На рисунке 41.12 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на $\mathbf{R}$. Среди приведённых на рисунке 41.13 графиков укажите тот, который может быть графиком функции $y = f'(x)$.

Рис. 41.12

Рис. 41.13

а

б

в

г

Для того чтобы определить, какой из графиков на рисунке 41.13 может быть графиком производной функции $ y = f(x) $, изображённой на рисунке 41.12, проанализируем свойства функции $ y = f(x) $ и соответствующие им свойства её производной $ y = f'(x) $.

Взаимосвязь между функцией и её производной следующая:

• На промежутках, где функция $ f(x) $ возрастает, её производная $ f'(x) $ положительна ($ f'(x) > 0 $).
• На промежутках, где функция $ f(x) $ убывает, её производная $ f'(x) $ отрицательна ($ f'(x) < 0 $).
• В точках экстремума (максимума или минимума) функции $ f(x) $, где касательная к графику горизонтальна, её производная равна нулю ($ f'(x) = 0 $).
• Если график функции $ f(x) $ является выпуклым вверх (вогнутым), как на рисунке 41.12, это означает, что угол наклона касательной к графику постоянно уменьшается при движении вдоль оси $ x $ слева направо. Следовательно, её производная $ f'(x) $ является убывающей функцией.

Проанализируем график функции $ y = f(x) $ с рисунка 41.12:

1. Функция $ f(x) $ возрастает до точки максимума, а затем убывает.
2. Точка максимума $ x_m $ находится правее оси $ y $, то есть её абсцисса $ x_m > 0 $.
3. На всём протяжении график является выпуклым вверх.

Исходя из этого, график производной $ y = f'(x) $ должен обладать следующими свойствами:

• Быть убывающей функцией на всей области определения.
• Быть положительным ($ f'(x) > 0 $) при $ x < x_m $, отрицательным ($ f'(x) < 0 $) при $ x > x_m $ и равным нулю ($ f'(x) = 0 $) в точке $ x = x_m $, где $ x_m > 0 $.

Теперь рассмотрим предложенные графики на рисунке 41.13.

а

На этом графике изображена возрастающая функция. Это противоречит свойству выпуклости вверх функции $ f(x) $, которое требует, чтобы производная $ f'(x) $ была убывающей. Следовательно, этот график не подходит.

б

На этом графике изображена убывающая функция. Она положительна при $ x < 0 $ и отрицательна при $ x > 0 $. Она пересекает ось абсцисс в точке $ x = 0 $. Этот график соответствует требованию об убывании производной и о смене знака с плюса на минус. Единственное несоответствие заключается в том, что точка пересечения с осью $ x $ здесь $ x=0 $, в то время как максимум исходной функции находится в точке $ x_m > 0 $. Однако, по сравнению с другими вариантами, которые фундаментально неверны, этот является наиболее правдоподобным.

в

На этом графике изображена возрастающая функция, что противоречит свойству убывания производной. Кроме того, она меняет знак с минуса на плюс, что соответствовало бы точке минимума, а не максимума. Следовательно, этот график не подходит.

г

На этом графике функция сначала возрастает, а затем убывает. Это противоречит тому, что производная $ f'(x) $ должна быть монотонно убывающей функцией. Следовательно, этот график не подходит.

Сравнивая все варианты, мы видим, что только график б удовлетворяет ключевому требованию: производная функции с выпуклостью вверх должна быть убывающей функцией. Он также правильно отражает смену знака производной (с положительного на отрицательный), что соответствует наличию максимума у исходной функции.

Ответ: б.