Номер 41.2, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

41.2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x;$

2) $f(x) = x^4 + 4x - 20.$

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим знаки производной на области определения. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю, чтобы найти точки возможного экстремума:

$f'(x) = 0$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Эти критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $f'(x)$ в каждом из этих интервалов, чтобы определить, где функция возрастает ($f'(x) > 0$), а где убывает ($f'(x) < 0$).

• В интервале $(-\infty; -3)$ выберем пробную точку, например $x = -4$.
  $f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 33 = 15$.
  Так как $f'(-4) > 0$, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$.

• В интервале $(-3; 1)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
  $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9$.
  Так как $f'(0) < 0$, функция убывает на промежутке $[-3; 1]$.

• В интервале $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 2$.
  $f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15$.
  Так как $f'(2) > 0$, функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 1]$.

2) $f(x) = x^4 + 4x - 20$

Действуем по тому же алгоритму. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^4 + 4x - 20)' = 4x^3 + 4$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4x^3 + 4 = 0$

$4(x^3 + 1) = 0$

$x^3 + 1 = 0$

$x^3 = -1$

Единственный действительный корень этого уравнения $x = -1$.

Эта критическая точка делит числовую ось на два интервала: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной в каждом из них.

• В интервале $(-\infty; -1)$ выберем пробную точку, например $x = -2$.
  $f'(-2) = 4(-2)^3 + 4 = 4(-8) + 4 = -32 + 4 = -28$.
  Так как $f'(-2) < 0$, функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.

• В интервале $(-1; +\infty)$ выберем пробную точку, например $x = 0$.
  $f'(0) = 4(0)^3 + 4 = 4$.
  Так как $f'(0) > 0$, функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1]$, возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$.