Номер 40.31, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.31. Найдите уравнение общей касательной к графикам функций $f(x) = x^2 - 2x + 5$ и $g(x) = x^2 + 2x - 11$.

Пусть уравнение общей касательной имеет вид $y = kx + b$. Пусть $x_1$ — абсцисса точки касания с графиком функции $f(x)$, а $x_2$ — абсцисса точки касания с графиком функции $g(x)$.

Условие касания прямой и графика функции в точке заключается в равенстве их значений и значений их производных в этой точке.

Найдем производные заданных функций:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 5)' = 2x - 2$
$g'(x) = (x^2 + 2x - 11)' = 2x + 2$

Так как касательная одна и та же, то ее угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания для обеих функций.
$k = f'(x_1) = 2x_1 - 2$
$k = g'(x_2) = 2x_2 + 2$
Приравнивая выражения для $k$, получаем первое уравнение системы:
$2x_1 - 2 = 2x_2 + 2$
$2x_1 = 2x_2 + 4$
$x_1 = x_2 + 2$

Теперь запишем уравнения касательных к графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ в точках $x_1$ и $x_2$ соответственно, используя общую формулу $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Для $f(x)$:
$y = f(x_1) + f'(x_1)(x - x_1) = (x_1^2 - 2x_1 + 5) + (2x_1 - 2)(x - x_1)$
$y = (2x_1 - 2)x - 2x_1^2 + 2x_1 + x_1^2 - 2x_1 + 5$
$y = (2x_1 - 2)x - x_1^2 + 5$
Отсюда $k = 2x_1 - 2$ и $b = -x_1^2 + 5$.

Для $g(x)$:
$y = g(x_2) + g'(x_2)(x - x_2) = (x_2^2 + 2x_2 - 11) + (2x_2 + 2)(x - x_2)$
$y = (2x_2 + 2)x - 2x_2^2 - 2x_2 + x_2^2 + 2x_2 - 11$
$y = (2x_2 + 2)x - x_2^2 - 11$
Отсюда $k = 2x_2 + 2$ и $b = -x_2^2 - 11$.

Поскольку касательная общая, свободные члены $b$ в уравнениях касательных должны быть равны. Это дает нам второе уравнение системы:
$-x_1^2 + 5 = -x_2^2 - 11$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x_1 = x_2 + 2 \\ -x_1^2 + 5 = -x_2^2 - 11 \end{cases}$
Подставим выражение для $x_1$ из первого уравнения во второе:
$-(x_2 + 2)^2 + 5 = -x_2^2 - 11$
$-(x_2^2 + 4x_2 + 4) + 5 = -x_2^2 - 11$
$-x_2^2 - 4x_2 - 4 + 5 = -x_2^2 - 11$
$-x_2^2 - 4x_2 + 1 = -x_2^2 - 11$
$-4x_2 + 1 = -11$
$-4x_2 = -12$
$x_2 = 3$

Теперь найдем $x_1$:
$x_1 = x_2 + 2 = 3 + 2 = 5$

Зная $x_1$ и $x_2$, мы можем найти коэффициенты $k$ и $b$ уравнения касательной $y = kx + b$.
$k = 2x_1 - 2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$
$b = -x_1^2 + 5 = -5^2 + 5 = -25 + 5 = -20$
Проверим, используя $x_2$:
$k = 2x_2 + 2 = 2 \cdot 3 + 2 = 6 + 2 = 8$
$b = -x_2^2 - 11 = -3^2 - 11 = -9 - 11 = -20$
Коэффициенты совпадают.

Таким образом, уравнение общей касательной: $y = 8x - 20$.

Ответ: $y = 8x - 20$.