Номер 40.27, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.27. Две перпендикулярные касательные к графику функции $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки A.

Пусть две касательные к графику функции $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ проведены в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$.

1. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (3 - \frac{1}{2}x^2)' = -x$.

Следовательно, угловые коэффициенты двух касательных равны $k_1 = f'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = f'(x_2) = -x_2$.

2. По условию задачи, касательные перпендикулярны. Условием перпендикулярности двух прямых является равенство произведения их угловых коэффициентов -1:

$k_1 \cdot k_2 = -1$

$(-x_1) \cdot (-x_2) = -1$

$x_1 x_2 = -1$

3. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Запишем уравнения для наших двух касательных.

Касательная 1 (в точке $x_1$): $y = (3 - \frac{1}{2}x_1^2) + (-x_1)(x - x_1) = 3 - \frac{1}{2}x_1^2 - x_1x + x_1^2 = -x_1x + 3 + \frac{1}{2}x_1^2$.

Касательная 2 (в точке $x_2$): $y = (3 - \frac{1}{2}x_2^2) + (-x_2)(x - x_2) = -x_2x + 3 + \frac{1}{2}x_2^2$.

4. Касательные пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Это означает, что абсцисса точки A равна 0. Пусть координаты точки A равны $(0, y_A)$. Поскольку точка A лежит на обеих касательных, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих прямых.

Подставим $x = 0$ и $y = y_A$ в уравнение первой касательной:

$y_A = -x_1 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_1^2 \implies y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2$.

Подставим $x = 0$ и $y = y_A$ в уравнение второй касательной:

$y_A = -x_2 \cdot 0 + 3 + \frac{1}{2}x_2^2 \implies y_A = 3 + \frac{1}{2}x_2^2$.

5. Мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2 \\ y_A = 3 + \frac{1}{2}x_2^2 \\ x_1 x_2 = -1 \end{cases} $

Из первых двух уравнений следует:

$3 + \frac{1}{2}x_1^2 = 3 + \frac{1}{2}x_2^2$

$x_1^2 = x_2^2$

Это означает, что $x_1 = x_2$ или $x_1 = -x_2$. Поскольку касательные перпендикулярны, они не могут быть одной и той же прямой, значит, точки касания различны, и $x_1 \ne x_2$. Следовательно, $x_1 = -x_2$.

6. Подставим соотношение $x_1 = -x_2$ в третье уравнение системы $x_1 x_2 = -1$:

$(-x_2) \cdot x_2 = -1$

$-x_2^2 = -1$

$x_2^2 = 1$

Отсюда $x_2 = 1$ или $x_2 = -1$. Тогда абсциссы точек касания равны 1 и -1.

7. Теперь найдем ординату точки A, подставив $x_1^2 = 1$ (или $x_2^2 = 1$) в выражение для $y_A$:

$y_A = 3 + \frac{1}{2}x_1^2 = 3 + \frac{1}{2}(1) = 3 + 0,5 = 3,5$.

Координаты точки A равны $(0, 3,5)$.

Ответ: $(0; 3,5)$.