Номер 40.25, страница 308 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

40.25. Запишите уравнение касательной к графику функции $f(x)=2x^2+2$, если эта касательная проходит через точку $M(0; 1)$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = 2x^2 + 2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^2 + 2)' = 4x$.

Пусть $(x_0, f(x_0))$ — точка касания. Тогда уравнение касательной в этой точке будет:

$f(x_0) = 2x_0^2 + 2$

$f'(x_0) = 4x_0$

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = (2x_0^2 + 2) + 4x_0(x - x_0)$

По условию задачи, эта касательная проходит через точку $M(0; 1)$. Это означает, что координаты точки M должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x = 0$ и $y = 1$ в полученное уравнение:

$1 = (2x_0^2 + 2) + 4x_0(0 - x_0)$

Решим это уравнение относительно $x_0$, чтобы найти абсциссы точек касания.

$1 = 2x_0^2 + 2 - 4x_0^2$

$1 = 2 - 2x_0^2$

$2x_0^2 = 2 - 1$

$2x_0^2 = 1$

$x_0^2 = \frac{1}{2}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

$x_{0,1} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x_{0,2} = -\sqrt{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это означает, что существуют две касательные к графику функции, проходящие через точку $M(0; 1)$. Найдем уравнение для каждой из них.

Для первого значения $x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$f(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$

$f'(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Уравнение первой касательной:

$y = 3 + 2\sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 + 2\sqrt{2}x - 2 = 2\sqrt{2}x + 1$

Для второго значения $x_0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$f(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2 = 2 \cdot \frac{2}{4} + 2 = 1 + 2 = 3$

$f'(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -2\sqrt{2}$

Уравнение второй касательной:

$y = 3 - 2\sqrt{2}(x - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 3 - 2\sqrt{2}(x + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 - 2\sqrt{2}x - 2 = -2\sqrt{2}x + 1$

Ответ: $y = 2\sqrt{2}x + 1$ и $y = -2\sqrt{2}x + 1$.